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Construction de séries divergentes positives toujours plus petites

Le comportement d'une série étant asymptotique, on pourrait se demander s'il ne serait pas possible de construire une suite de terme général $ (u_n)$ qui soit "à la limite" de la convergence, fournissant un critère par simple comparaison, permettant de décider si une série positive diverge ou non. Il n'en est rien, car étant donnée une suite $ u_n>0$ telle que la série $ \sum_{n=0}^{+\infty} u_n$ diverge, on peut construire une suite $ v_n>0$ telle que $ v_n=o(u_n)$ et $ \sum_{n=0}^{\infty} v_n$ diverge. Pour cela, soit $ v_n=\frac{u_n}{U_n}$. Il est clair que $ v_n=o(u_n)$. Il reste à voir que la série de terme général $ (v_n)$ diverge. Pour cela on utilise le critère de Cauchy;

$\displaystyle \forall N \in \mathbb{N}, \forall n > 0, V_{N+n}-V_N=\sum_{i=N+1}^{N+n} \frac{u_i}{U_i}$

$\displaystyle \geq \frac{u_{N+1}}{U_{N+n}}+...+\frac{u_{N+n}}{U_{N+n}}$

$\displaystyle \geq \frac{U_{N+n}-U_{N-1}}{U_{N+n}} \to 1$

comme $ n\to \infty$, donc le critère de Cauchy n'est pas vérifié.$ \sqcap$$ \sqcup$

C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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