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Somme des inverses des nombres premiers

On définit $ p_n$ comme le $ n$-ième nombre premier, dans l'ordre croissant. On se préoccupe de la nature de la série $ \sum 1/p_n$ de terme général $ 1/p_n$.
Définissons $ u_n=\Pi_{i=1}^n \frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}$, et considérons $ ln(u_n)=\sum_{i=1}^n ln(1-1/p_n)$, il apparaît que la série est de même nature que la suite (et non pas série!) $ (u_n)$. On remarque alors que

$\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{p_n}}=\sum_{i=0}^{+\infty} 1/p_n^i$

et on peut écrire tout nombre $ 1/n$ comme produit d'un certain nombre d'inverses de nombres premiers; donc le produit $ u_n$ est supérieur à la somme des inverses des entiers plus petits que $ n$ (un nombre entier étant produit de nombres premiers inférieurs ou égaux à lui-même...); donc la suite $ (u_n)$ diverge, car $ \sum 1/n$ diverge.
D'où

$\displaystyle \sum_{n\geq 0} 1/p_n = +\infty$



C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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