On définit comme le -ième nombre premier, dans l'ordre croissant.
On se préoccupe de la nature de la série
de terme général .
Définissons
,
et considérons
,
il apparaît que la série est de même nature que la suite (et non pas série!)
.
On remarque alors que
et on peut écrire tout nombre comme produit d'un certain nombre d'inverses de nombres premiers; donc le produit est supérieur à la somme des inverses des entiers plus petits que (un nombre entier étant produit de nombres premiers inférieurs ou égaux à lui-même...); donc la suite diverge, car diverge.
D'où
comme le 
-ième nombre premier, dans l'ordre croissant.
On se préoccupe de la nature de la série
de terme général 
.
,
et considérons
,
il apparaît que la série est de même nature que la suite (et non pas série!)
.
On remarque alors que
comme produit d'un certain nombre d'inverses de nombres premiers; donc le produit 
est supérieur à la somme des inverses des entiers plus petits que 
diverge.
