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E. Cartan

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Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

Groupement de termes

suivant: Exponentielle d'un endomorphisme monter: Zoologie des séries précédent: Somme des inverses des Index

Groupement de termes

On a vu que dans le cas de séries à termes positifs, on pouvait permuter les termes autant qu'on le souhaitait sans changer la convergence de la série; dans le cas général ce n'est pas vrai (considérer

par exemple, ou bien la série de terme général

, que l'on peut faire tendre vers n'importe quelle limite réelle en changeant l'ordre des termes).
On a toutefois des résultats partiels:
Théorème On considère une suite

à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ . Soit $\phi$ une application strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ avec $\phi(0)=0$ . On définit $Tranche_n=u_{\phi(n)}+u_{\phi(n)+1}+...+u_{\phi(n+1)-1}$ (ceux qui n'ont pas compris pourquoi on appelait cette série "Tranche" sont priés de relire soigneusement cette ligne). On définit $GrosseTranche_n=\vert u_{\phi(n)}\vert+\vert u_{\phi(n)+1}\vert+...+\vert u_{\phi(n+1)-1}\vert$ . On suppose que

tend vers 0. Alors la série de terme général

converge si et seulement si la série de terme général

converge, et si elles convergent elles ont même somme.

Peu importe le caractère convergent de la série de terme général

!
Démonstration: Pas dur... On associe à tout

la somme partielle d'ordre $\phi_n$ , on montre que cette suite converge (c'est en fait l'hypothèse), et on montre en utilisant la seconde hypothèse que la différence entre

(la somme partielle d'ordre

) et $U_{\phi(p)}$ , avec

maximal tel que $\phi(p)\leq n$ , est petite pour

grand... $\sqcap$ $\sqcup$

Dans le cas d'une série à termes positifs, on n'a pas besoin de l'hypothèse "

tend vers 0".
$\Rightarrow$ Application possible : règle de la loupe.
Proposition [Règle de la loupe] Soit

une suite décroissante de réels

; alors les séries $\sum u_n$ et $\sum 2^n.u_{2^n}$ sont de même nature.
Démonstration: Facile avec le groupement de termes;

$\displaystyle \frac 12 2^{n+1} u_{2^{n+1}} \leq u_{2^{n+1}}+...+u_{2^n-1} \leq 2^n.u_{2^n}$

D'où le résultat, en constatant qu'on peut grouper les termes par $\phi(n)=2^n$ , puisque l'on est dans le cas d'une série à termes positifs. $\sqcap$ $\sqcup$ L'hypothèse de décroissance est nécéssaire, comme on peut s'en convaincre en considérant $u_{2^n}=\frac1{2^{2^n}}$ et