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Groupement de termes

On a vu que dans le cas de séries à termes positifs, on pouvait permuter les termes autant qu'on le souhaitait sans changer la convergence de la série; dans le cas général ce n'est pas vrai (considérer $ u_n=(-1)^n$ par exemple, ou bien la série de terme général $ u_n=(-1)^n/n$, que l'on peut faire tendre vers n'importe quelle limite réelle en changeant l'ordre des termes).
On a toutefois des résultats partiels:
Théorème On considère une suite $ u_n$ à valeurs dans $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$. Soit $ \phi$ une application strictement croissante de $ \mathbb{N}$ dans $ \mathbb{N}$ avec $ \phi(0)=0$. On définit $ Tranche_n=u_{\phi(n)}+u_{\phi(n)+1}+...+u_{\phi(n+1)-1}$ (ceux qui n'ont pas compris pourquoi on appelait cette série "Tranche" sont priés de relire soigneusement cette ligne). On définit $ GrosseTranche_n=\vert u_{\phi(n)}\vert+\vert u_{\phi(n)+1}\vert+...+\vert u_{\phi(n+1)-1}\vert$. On suppose que $ GrosseTranche_n$ tend vers 0. Alors la série de terme général $ (u_n)$ converge si et seulement si la série de terme général $ Tranche_n$ converge, et si elles convergent elles ont même somme.
Attention! Peu importe le caractère convergent de la série de terme général $ (GrosseTranche_n)$ !
Démonstration: Pas dur... On associe à tout $ n$ la somme partielle d'ordre $ \phi_n$, on montre que cette suite converge (c'est en fait l'hypothèse), et on montre en utilisant la seconde hypothèse que la différence entre $ U_n$ (la somme partielle d'ordre $ n$) et $ U_{\phi(p)}$, avec $ p$ maximal tel que $ \phi(p)\leq n$, est petite pour $ n$ grand...$ \sqcap$$ \sqcup$
Attention! Dans le cas d'une série à termes positifs, on n'a pas besoin de l'hypothèse " $ GrosseTranche_n$ tend vers 0".
$ \Rightarrow$ Application possible : règle de la loupe.
Proposition [Règle de la loupe] Soit $ u_n$ une suite décroissante de réels $ >0$; alors les séries $ \sum u_n$ et $ \sum 2^n.u_{2^n}$ sont de même nature.
Démonstration: Facile avec le groupement de termes;

$\displaystyle \frac 12 2^{n+1} u_{2^{n+1}} \leq u_{2^{n+1}}+...+u_{2^n-1} \leq 2^n.u_{2^n}$

D'où le résultat, en constatant qu'on peut grouper les termes par $ \phi(n)=2^n$, puisque l'on est dans le cas d'une série à termes positifs.$ \sqcap$$ \sqcup$ L'hypothèse de décroissance est nécéssaire, comme on peut s'en convaincre en considérant $ u_{2^n}=\frac1{2^{2^n}}$ et $ u_p=1$ si $ p\not \in \{2^n/n\in \mathbb{N}\}$.



$ \Rightarrow$ Application possible : série de Riemann, série de Bertrand.
Si $ u_n=1/n^x$, $ 2^n.u_{2^n}=\frac{2^n}{2^{nx}}=2^{n.(1-x)}$ donc $ \sum u_n$ converge si et seulement si $ x>1$
Si $ u_n=1/(n^x.log(n)^y)$, le résultat ci-dessus donne la convergence de la série $ \sum u_n$ si $ x>1$, et la divergence si $ x<1$; il reste le cas limite $ u_n=1/(n.log(n)^y)$, dans ce cas $ 2^n.u_{2^n}=1/(n.ln(2))^y$, dont la série converge si et seulement si $ y>1$.

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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