Théorème
Etant donné
(i.e. un endomorphisme continu de ), avec un espace
de Banach, on appelle exponentielle de l'endomorphisme et on note l'endomorphisme qui à associe
Bien entendu, la convergence est normale sur tout borné de
, donc uniforme sur tout borné.
Théorème [Dérivation de l'exponentielle]
Soit un Banach et soit
, alors l'application
est dérivable, de dérivée
.
Démonstration:Il suffit de voir que l'on a convergence uniforme de la série dérivée, et d'appliquer le théorème de dérivation sous le signe intégrale . Attention à ne pas généraliser en croyant que
, ce n'est pas vrai en général, et du ici au fait que l'homothétie commute avec tout endomorphisme!
pour la pratique du calcul de l'exponentielle d'un endomorphisme en dimension finie, voir la partie .
(i.e. 
un endomorphisme
), avec 
l'endomorphisme qui à 
associe
, donc uniforme sur tout borné.
.
![[*]](/images/crossref.png)
Attention à ne pas généraliser en croyant que
, ce n'est pas vrai en général, et du ici au fait que l'homothétie commute avec tout endomorphisme!
pour la pratique du calcul de l'exponentielle d'un endomorphisme en dimension finie, voir la partie 
