Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
179 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Exponentielle d'un endomorphisme next up previous index
suivant: Transformation d'Abel monter: Zoologie des séries précédent: Groupement de termes   Index


Exponentielle d'un endomorphisme

Théorème Etant donné $ f \in {\cal L}(E)$ (i.e. $ f$ un endomorphisme continu de $ E$), avec $ E$ un espace de Banach, on appelle exponentielle de l'endomorphisme $ f$ et on note $ exp(f)$ l'endomorphisme qui à $ x$ associe $ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \underbrace{f \circ \dots \circ f}_{\mbox{ $n$ fois }}(x)$
Bien entendu, la convergence est normale sur tout borné de $ {\cal L}(E)$, donc uniforme sur tout borné.
Théorème [Dérivation de l'exponentielle] Soit $ E$ un Banach et soit $ f \in {\cal L}(E)$, alors l'application $ t \mapsto exp(t f)$ est dérivable, de dérivée $ exp(tf)\circ f=f \circ exp(tf)$.
Démonstration: Il suffit de voir que l'on a convergence uniforme de la série dérivée, et d'appliquer le théorème de dérivation sous le signe intégrale [*].$ \sqcap$$ \sqcup$
Attention! Attention à ne pas généraliser en croyant que $ d(f\mapsto exp(f))=(g\mapsto exp(f)g)$, ce n'est pas vrai en général, et du ici au fait que l'homothétie commute avec tout endomorphisme!
Remarque pour la pratique du calcul de l'exponentielle d'un endomorphisme en dimension finie, voir la partie [*].


C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page