Théorème [Théorème d'Abel]
Soit une suite de réels tendant en décroissant vers 0 (au moins au voisinage de l'infini), soit le terme général d'une série dans un Banach dont les sommes partielles sont bornées, alors la série de terme général avec
converge, ie
converge
Démonstration:
Application directe de la transformation d'Abel!
Un cas particulier classique est le cas
:
Corollaire [Série alternée]
Si
et si
décroît vers 0, alors la série de terme général converge.
La preuve utilisant Abel est un peu forte pour ce résultat, qui s'obtient facilement
en considérant les suites et ; elles sont clairement adjacentes. On voit alors
en outre que la limite de est toujours comprise entre et .
Définition
On dit qu'une suite est à variation bornée si la série de terme général est absolument convergente, avec
,
Grâce au critère de Cauchy, on peut constater qu'une suite à variation bornée est convergente.
Théorème [Théorème de Dirichlet]
Soit
une suite à variation bornée tendant vers 0, et soit une suite telle que la série de terme général ait ses sommes partielles bornées, alors la série de terme général converge, avec
.
Démonstration:Encore grâce à la transformation d'Abel, avec un zeste de critère de Cauchy.
L'hypothèse
est nécéssaire; pour avoir un contre-exemple, considérer
et
.
suivant:Produit de convolution de monter:Zoologie des séries précédent:Exponentielle d'un endomorphisme
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud