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Transformation d'Abel

Théorème [Transformée d'Abel] Soit $ E$ un espace vectoriel normé , $ (r_n)$ une suite de réels, $ (e_n)$ une suite de $ E$. On note $ E_n=\sum_{k=0}^n e_k$. Alors pour tout $ M<N$

$\displaystyle \sum_{n=M}^N r_ne_n = [rE]_M^N - \sum_{n=M}^{N-1} (r_k-r_{k+1}) E_k$

avec $ [rE]_M^N=r(N)E(N)-r(M)E(M-1)$ par définition (attention au $ -1$!).
Démonstration:

$\displaystyle \sum_{n=M}^N r_ne_n = \sum_{n=M}^N r_n(E_n-E_{n-1})$

$\displaystyle =\sum_{n=M}^N r_nE_n - \sum_{k=M-1}^{N-1} r_{n+1}E_n$

$\displaystyle = [rE]_M^N - \sum_{n=M}^{N-1} (r_k-r_{k+1}) E_k$

D'où le résultat; soulignons l'analogie avec l'intégration par parties (théorème [*]). $ \sqcap$$ \sqcup$
Application(s)... les théorèmes [*] et [*].

$ \boxcircle$ Théorème d'Abel

Théorème [Théorème d'Abel] Soit $ (r_n)$ une suite de réels tendant en décroissant vers 0 (au moins au voisinage de l'infini), soit $ (e_n)$ le terme général d'une série dans un Banach dont les sommes partielles sont bornées, alors la série de terme général $ (u_n)$ avec $ u_n=r_n.e_n$ converge, ie

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty r_n.e_n$ converge


Démonstration: Application directe de la transformation d'Abel! $ \sqcap$$ \sqcup$
Un cas particulier classique est le cas $ e_n=(-1)^n$:
Corollaire [Série alternée] Si $ u_n=(-1)^n \epsilon _n$ et si $ \epsilon _n$ décroît vers 0, alors la série de terme général $ u_n$ converge.
Attention! La preuve utilisant Abel est un peu forte pour ce résultat, qui s'obtient facilement en considérant les suites $ U_{2n}$ et $ U_{2n+1}$; elles sont clairement adjacentes. On voit alors en outre que la limite $ U$ de $ U_n$ est toujours comprise entre $ U_{2n+1}$ et $ U_{2n}$.

$ \boxcircle$ Théorème de Dirichlet

Définition On dit qu'une suite $ (x_n)$ est à variation bornée si la série de terme général $ (y_n)$ est absolument convergente, avec $ y_n=x_{n+1}-x_n$,
Grâce au critère de Cauchy, on peut constater qu'une suite à variation bornée est convergente.
Théorème [Théorème de Dirichlet] Soit $ \epsilon _n$ une suite à variation bornée tendant vers 0, et soit $ (v_n)$ une suite telle que la série de terme général $ (v_n)$ ait ses sommes partielles bornées, alors la série de terme général $ (u_n)$ converge, avec $ u_n=\epsilon _n.v_n$.
Démonstration: Encore grâce à la transformation d'Abel, avec un zeste de critère de Cauchy. $ \sqcap$$ \sqcup$
L'hypothèse $ \epsilon _n \to 0$ est nécéssaire; pour avoir un contre-exemple, considérer $ \epsilon _n=2+\frac1{n^2}$ et $ x_n=(-1)^n$.

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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