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E. Cartan

Les maths pour l'agreg

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Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

Transformation d'Abel

suivant: Produit de convolution de monter: Zoologie des séries précédent: Exponentielle d'un endomorphisme Index

Sous-sections

$\boxcircle$ Théorème d'Abel
$\boxcircle$ Théorème de Dirichlet

Transformation d'Abel

Théorème [Transformée d'Abel] Soit

un espace vectoriel normé ,

une suite de réels,

une suite de

. On note $E_n=\sum_{k=0}^n e_k$ . Alors pour tout

$\displaystyle \sum_{n=M}^N r_ne_n = [rE]_M^N - \sum_{n=M}^{N-1} (r_k-r_{k+1}) E_k$

avec

par définition (attention au

!).
Démonstration:

$\displaystyle \sum_{n=M}^N r_ne_n = \sum_{n=M}^N r_n(E_n-E_{n-1})$

$\displaystyle =\sum_{n=M}^N r_nE_n - \sum_{k=M-1}^{N-1} r_{n+1}E_n$

$\displaystyle = [rE]_M^N - \sum_{n=M}^{N-1} (r_k-r_{k+1}) E_k$

D'où le résultat; soulignons l'analogie avec l'intégration par parties (théorème

). $\sqcap$ $\sqcup$

les théorèmes

$\boxcircle$ Théorème d'Abel

Théorème [Théorème d'Abel] Soit

une suite de réels tendant en décroissant vers 0 (au moins au voisinage de l'infini), soit

le terme général d'une série dans un Banach

dont les sommes partielles sont bornées, alors la série de terme général

avec

converge, ie

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty r_n.e_n$ converge

Démonstration: Application directe de la transformation d'Abel! $\sqcap$ $\sqcup$
Un cas particulier classique est le cas

:
Corollaire [Série alternée] Si $u_n=(-1)^n \epsilon _n$ et si $\epsilon _n$ décroît vers 0, alors la série de terme général

converge.

La preuve utilisant Abel est un peu forte pour ce résultat, qui s'obtient facilement en considérant les suites $U_{2n}$ et $U_{2n+1}$ ; elles sont clairement adjacentes. On voit alors en outre que la limite

est toujours comprise entre $U_{2n+1}$ et $U_{2n}$ .

$\boxcircle$ Théorème de Dirichlet

Définition On dit qu'une suite

est à variation bornée si la série de terme général

est absolument convergente, avec $y_n=x_{n+1}-x_n$ ,
Grâce au critère de Cauchy

, on peut constater qu'une suite à variation bornée est convergente.
Théorème [Théorème de Dirichlet] Soit $\epsilon _n$ une suite à variation bornée

tendant vers 0, et soit

une suite telle que la série de terme général

ait ses sommes partielles bornées, alors la série de terme général

converge, avec $u_n=\epsilon _n.v_n$ .
Démonstration: Encore grâce à la transformation d'Abel

, avec un zeste de critère de Cauchy. $\sqcap$ $\sqcup$
L'hypothèse $\epsilon _n \to 0$ est nécéssaire; pour avoir un contre-exemple, considérer $\epsilon _n=2+\frac1{n^2}$ et