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Produit de convolution de deux séries

$ \boxcircle$ Pour commencer

Définition On se donne deux séries $ \sum u_n$ et $ \sum v_n$. Par définition, le produit de convolution de ces deux séries est la série de terme général $ w_n$ défini par

$\displaystyle w_n=\sum_{k=0}^n u_k.v_{n-k}$


Proposition Si deux séries sont absolument convergentes, alors le produit de leurs sommes est égal à la somme de leur produit de convolution (qui est une série absolument convergente).
Démonstration: $ \bullet $On suppose tout d'abord les séries à termes positifs. En notant $ U_n$, $ V_n$ et $ W_n$ les sommes partielles des séries de termes généraux $ u_n$, $ v_n$, $ w_n$, on constate facilement que

$\displaystyle W_n \leq U_n.V_n \leq W_{2n}$

(on peut voir ça facilement en cochant sur le plan quadrillé les coordonées $ (a,b)$ telles que $ u_a.v_b$ intervienne dans les différentes sommes ci-dessus, on obtient un carré et deux triangles imbriqués les uns dans les autres:voir figure [*]...)

Figure: Produit de convolution
\begin{figure}
\begin{displaymath}
\epsfxsize =6cm
\epsfbox{convol.eps}
\end{displaymath}
\end{figure}

$ \bullet $Le cas général est un peu plus prise de tête. On reprend les mêmes notations, et on ajoute les notations $ \vert U\vert _n$, $ \vert V\vert _n$ et $ \vert W\vert _n$ pour les sommes partielles des séries de termes généraux $ \vert u_n\vert$, $ \vert v_n\vert$ et $ \vert w_n\vert$. La convergence absolue du produit de convolution découle trivialement du cas positif. La convergence de $ W_n$ vers $ (lim U_n.lim V_n)$, elle, vient du fait que

$\displaystyle \vert U_n.V_n-W_n\vert\leq \vert U\vert _n.\vert V\vert _n-\vert W\vert _n$

$ \boxcircle$ Pour les pros: Cauchy-Mertens

On peut en fait affaiblir les hypothèses (le résultat étant à peine affaibli):
Théorème [Cauchy-Mertens] On se donne deux séries de termes généraux $ (u_n)$ et $ (v_n)$, la série de terme général $ (u_n)$ étant supposé absolument convergente, et la série de terme général $ v_n$ étant convergente. Alors le produit de convolution de ces deux séries est convergent, et la somme du produit de convolution est égale au produit des sommes de ces deux séries.
Démonstration: On utilise les notations usuelles pour $ U_n$, $ V_n$, $ W_n$; on introduit aussi les quantités $ U$, $ V$ et $ W$, égales respectivement à la somme des $ u_n$, à la somme des $ v_n$ et à la somme des $ w_n$.
$ \bullet $On remplace $ v_0$ par $ v_0-V$. En changeant cela on ne change pas la nature de la série de terme général $ v_n$. La somme $ U$ n'est pas changée, et la somme $ W$ est diminuée de $ V.U$, et $ V$ est remplacé par 0; donc il n'y a pas de perte de généralité.
$ \bullet $On suppose donc que $ V=0$. Par un raisonnement analogue à celui illustré sur la figure [*], on constate que

$\displaystyle W_n=\sum_{k=0}^n u_k.V_{n-k}$

On se donne $ M$ un majorant de $ \vert V_n\vert$.
On se donne alors $ \epsilon >0$, et $ N$ tel que la somme des $ \vert u_i\vert$ pour $ i>N$ soit inférieure à $ \epsilon $.
On décompose alors $ W_n$ en deux sommes:

$\displaystyle \vert W_n\vert\leq \sum_{k=0}^N \vert u_k.V_{n-k}\vert + \sum_{k=N+1}^n \vert u_k.V_{n-k}\vert$

or:
- $ \sum_{k=0}^N \vert u_k.V_{n-k}\vert \leq (N+1).(max_{k\in[0,N]} \vert u_k\vert).(max_{k\in[0,N]} \vert V_{n-k}\vert) $
et par ailleurs - $ \sum_{k=N+1}^n \vert u_k.V_{n-k}\vert\leq M\sum_{k=N+1}^n \vert u_k \vert \leq \epsilon M$
d'où

$\displaystyle \leq (N+1).(max_{k\in[0,N]} \vert u_k\vert).(max_{k\in[0,N]} \vert V_{n-k})\vert + \epsilon .M$

$\displaystyle \leq \epsilon .M + \epsilon$    pour $ n$ assez grand

D'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

Et si c'est le produit qui converge ?

On se donne deux série de terme général $ u_n$ et $ v_n$, et on définit $ w_n$ le terme général de la série produit de convolution de ces deux séries.
On suppose que $ \sum w_n$ converge. Alors les séries de termes généraux $ (u_n)$ et $ (v_n)$ convergent. Ce résultat est cité dans [15], avec un embryon de démonstration (il s'agit d'utiliser Césaro).

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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