Définition
On se donne deux séries et . Par définition, le produit de convolution de ces deux séries est la série de terme général
défini par
Proposition
Si deux séries sont absolument convergentes, alors le produit de leurs sommes est égal à la somme de leur produit de convolution (qui est une série absolument convergente).
Démonstration:On suppose tout d'abord les séries à termes positifs.
En notant , et les sommes partielles des séries de termes généraux , , , on constate facilement que
(on peut voir ça facilement en cochant sur le plan quadrillé les coordonées telles que intervienne dans les différentes sommes ci-dessus, on obtient un carré et deux triangles imbriqués les uns dans les autres:voir figure ...)
Figure:
Produit de convolution
Le cas général est un peu plus prise de tête.
On reprend les mêmes notations, et on ajoute les notations , et pour les sommes partielles des séries de termes généraux , et .
La convergence absolue du produit de convolution découle trivialement du cas positif. La convergence de vers
, elle, vient du fait que
On peut en fait affaiblir les hypothèses (le résultat étant à peine affaibli):
Théorème [Cauchy-Mertens]
On se donne deux séries de termes généraux et , la série de terme général étant supposé absolument convergente, et la série de terme général étant convergente. Alors le produit de convolution de ces deux séries est convergent, et la somme du produit de convolution est égale au produit des sommes de ces deux séries.
Démonstration:
On utilise les notations usuelles pour , , ; on introduit aussi les quantités , et , égales respectivement à la somme des , à la somme des et à la somme des .
On remplace par . En changeant cela on ne change pas la nature de la série de terme général . La somme n'est pas changée, et la somme est diminuée de , et est remplacé par 0; donc il n'y a pas de perte de généralité.
On suppose donc que . Par un raisonnement analogue à celui illustré
sur la figure , on constate que
On se donne un majorant de .
On se donne alors
, et tel que la somme des pour soit inférieure à .
On décompose alors en deux sommes:
On se donne deux série de terme général et , et on définit le terme général
de la série produit de convolution de ces deux séries.
On suppose que converge. Alors les séries de termes généraux et convergent. Ce résultat est cité dans [15], avec un embryon de démonstration (il s'agit d'utiliser Césaro).
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