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Produit de convolution de deux séries

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Sous-sections

$\boxcircle$ Pour commencer
$\boxcircle$ Pour les pros: Cauchy-Mertens
Et si c'est le produit qui converge ?

Produit de convolution de deux séries

$\boxcircle$ Pour commencer

Définition On se donne deux séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ . Par définition, le produit de convolution

de ces deux séries est la série de terme général

défini par

$\displaystyle w_n=\sum_{k=0}^n u_k.v_{n-k}$

Proposition Si deux séries sont absolument convergentes, alors le produit de leurs sommes est égal à la somme de leur produit de convolution (qui est une série absolument convergente).
Démonstration: $\bullet$ On suppose tout d'abord les séries à termes positifs. En notant

les sommes partielles des séries de termes généraux

, on constate facilement que

$\displaystyle W_n \leq U_n.V_n \leq W_{2n}$

(on peut voir ça facilement en cochant sur le plan quadrillé les coordonées

telles que

intervienne dans les différentes sommes ci-dessus, on obtient un carré et deux triangles imbriqués les uns dans les autres:voir figure

...)

**Figure:** Produit de convolution
$\begin{figure} \begin{displaymath} \epsfxsize =6cm \epsfbox{convol.eps} \end{displaymath} \end{figure}$

$\bullet$ Le cas général est un peu plus prise de tête. On reprend les mêmes notations, et on ajoute les notations $\vert U\vert _n$ , $\vert V\vert _n$ et $\vert W\vert _n$ pour les sommes partielles des séries de termes généraux $\vert u_n\vert$ , $\vert v_n\vert$ et $\vert w_n\vert$ . La convergence absolue du produit de convolution découle trivialement du cas positif. La convergence de

vers

, elle, vient du fait que

$\displaystyle \vert U_n.V_n-W_n\vert\leq \vert U\vert _n.\vert V\vert _n-\vert W\vert _n$

$\boxcircle$ Pour les pros: Cauchy-Mertens

On peut en fait affaiblir les hypothèses (le résultat étant à peine affaibli):
Théorème [Cauchy-Mertens] On se donne deux séries de termes généraux

, la série de terme général

étant supposé absolument convergente, et la série de terme général

étant convergente. Alors le produit de convolution

de ces deux séries est convergent, et la somme du produit de convolution est égale au produit des sommes de ces deux séries.
Démonstration: On utilise les notations usuelles pour

; on introduit aussi les quantités

, égales respectivement à la somme des

, à la somme des

et à la somme des

.
$\bullet$ On remplace

par

. En changeant cela on ne change pas la nature de la série de terme général

. La somme

n'est pas changée, et la somme

est diminuée de

, et

est remplacé par 0; donc il n'y a pas de perte de généralité.
$\bullet$ On suppose donc que

. Par un raisonnement analogue à celui illustré sur la figure

, on constate que

$\displaystyle W_n=\sum_{k=0}^n u_k.V_{n-k}$

On se donne

un majorant de $\vert V_n\vert$ .
On se donne alors $\epsilon >0$ , et

tel que la somme des $\vert u_i\vert$ pour

soit inférieure à $\epsilon$ .
On décompose alors

en deux sommes:

$\displaystyle \vert W_n\vert\leq \sum_{k=0}^N \vert u_k.V_{n-k}\vert + \sum_{k=N+1}^n \vert u_k.V_{n-k}\vert$

or:
- $\sum_{k=0}^N \vert u_k.V_{n-k}\vert \leq (N+1).(max_{k\in[0,N]} \vert u_k\vert).(max_{k\in[0,N]} \vert V_{n-k}\vert)$
et par ailleurs - $\sum_{k=N+1}^n \vert u_k.V_{n-k}\vert\leq M\sum_{k=N+1}^n \vert u_k \vert \leq \epsilon M$
d'où

$\displaystyle \leq (N+1).(max_{k\in[0,N]} \vert u_k\vert).(max_{k\in[0,N]} \vert V_{n-k})\vert + \epsilon .M$