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Transformation de Toeplitz

Définition Etant donnée une famille $ (c_{i,j})_{(i,j)\in \mathbb{N}^2}$ de coefficients complexes, on définit la transformation de Toeplitz associée à cette famille comme étant l'application qui à une suite complexe $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ associe la suite $ (Tu_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $ Tu_n=\sum_{i=0}^\infty c_{n,i}.u_i$. On dit que $ T$ est régulière si et seulement si pour toute suite $ u_n$ convergente, $ Tu_n$ est définie pour tout $ n$ et la suite $ (Tu_n)$ converge vers la même limite que $ (u_n)$.
Attention! Il s'agit de convergence de suites et non de séries; seuls les termes des $ Tu_n$ sont définis par des séries.
Proposition La transformation de Toeplitz $ T$ associée à $ c_{n,m}$ est régulière si et seulement si les trois conditions suivantes sont vérifiées: $ \bullet $Pour tout $ j$, $ c_{i,j} \to 0$ comme $ i$ tend vers $ +\infty$.
$ \bullet $ $ \sum_{j=0}^\infty c_{i,j}$ tend vers $ 1$ comme $ i \to \infty$
$ \bullet $ $ \sum_{j=0}^\infty \vert c_{i,j}\vert$ est défini pour tout $ i$ et est borné par une constante $ M$ indépendante de $ i$

Démonstration: $ \bullet $Supposons que la transformation $ T$ soit régulière.
- le premier $ \bullet $exprime simplement le fait que $ T$ est régulière appliqué à la suite $ u_n=\partial _{n,j}$.
- Le second $ \bullet $exprime simplement le fait que $ T$ est régulière appliqué à la suite constante égale à $ 1$.
- Le troisième $ \bullet $se montre facilement en utilisant le théorème de Banach-Steinhaus. On définit:

$\displaystyle T_i(x)=\sum_{j=0}^\infty c_{i,j} x_j$

définie pour $ x$ une suite convergente; $ T_i$ est bornée indépendamment de $ i$.
Chaque $ T_i$ est une application linéaire continue de l'espace de Banach des suites convergentes de $ \mathbb{C}$ (pour la norme $ {\parallel}. {\parallel}_\infty$) dans $ \mathbb{C}$.
Par le théorème de Banach-Steinhaus (théorème [*]), on peut donc trouver $ M$ tel que pour toute suite $ x$,

$\displaystyle \vert T_i(x)\vert \leq M.{\parallel}x {\parallel}_\infty$

On considère alors, pour $ i$ donné et $ m$ quelconque, la suite $ x^{(m)}$ définie par:

$\displaystyle x_j=\overline c_{i,j}/\vert c_{i,j}\vert$    si $ j<m$ et $ c_{i,j}\neq 0$

$\displaystyle x_j=0$    sinon

$ x^{(m)}$ est convergente, de limite 0, bornée par $ 1$.
En calculant $ T_i(x^{(m)})$, on constate que la somme des $ \vert c_{i,j}(x)\vert$ est bornée par $ M$. D'où le point $ \bullet $.
$ \bullet $Il reste à voir la réciproque, c'est à dire que l'on suppose les trois points réalisés, et on cherche à montrer que $ T$ est régulière.
- On se donne $ (u_n)$ une suite convergente.
- La suite $ \sum_j c_{i,j} u_j$ est évidemment convergente car $ c_{i,j} u_j=O(c_{i,j})$ avec $ \sum_j c_{i,j}$ absolument convergente. Donc $ Tu_n$ est bien défini pour tout $ n$.
- Il reste à montrer que pour toute suite $ (u_n)$ la suite de terme général $ Tu_n=\sum_{i=0}^\infty c_{n,j} u_j$ converge vers la même limite que $ (u_n)$
- dans le cas général, on se ramène facilement au cas d'une limite nulle 0, en remplaçant $ u_n$ de limite $ l$ par $ u_n-l$ (rappelons que par hypothèse $ \sum_j c_{i,j}\to 1$ quand $ i \to \infty$).
- On se donne donc une suite $ u_n$ de limite nulle.
- On se donne $ N$ tel que $ \vert u_n\vert<\frac{\epsilon }{M}$ pour $ n\geq N$.

$\displaystyle \vert Tu_i\vert=\sum_{j=0}^N c_{i,j}.u_j + \sum_{j=N+1}^\infty c_{i,j}.u_j$

- Le terme $ \sum_{j=0}^N c_{i,j}.u_j$ tend vers 0 pour $ i$ tendant vers $ +\infty$, puisque par hypothèse $ c_{i,j} \to 0$ pour tout $ j$ quand $ i\to+\infty$.
- Le terme $ \sum_{j=N+1}^\infty c_{i,j}.u_j$ est borné par $ \epsilon $, par définition de $ M$ et $ N$.
- On a donc bien le résultat souhaité.$ \sqcap$$ \sqcup$
Corollaire Ce résultat montre facilement que la moyenne de Césaro est une transformation de Toeplitz régulière; $ c_{n,m}=1/(n+1)$ si $ m\leq n$ et 0 sinon. Si $ u_n$, suite à valeurs complexes, converge vers $ l$, alors $ Tu_n=\frac1{n+1} \sum_{i=0}^n u_i$ converge aussi vers $ l$.
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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