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Une application du théorème de Rolle

Proposition Soient $ f$ et $ g$ deux applications continues de $ [a,b]$ dans $ \mathbb{R}$, dérivables sur $ ]a,b[$. Si $ g(b)\neq g(a)$, alors il existe $ c \in ]a,b[$ tel que le déterminant

$\displaystyle \left\vert\begin{array}{cc} f(b)-f(a) & f'(c) \ g(b)-g(a) & g'(c) \ \end{array}\right\vert$

s'annule.
Démonstration: Il suffit d'appliquer le théorème de Rolle [*] à la fonction $ h$ définie par $ h(t)=f(t)-f(a)-\frac{g(t)-g(a)}{g(b)-g(a)}.(f(b)-f(a))$.$ \sqcap$$ \sqcup$
Pour y voir plus clair Alors que le théorème des accroissements finis exprime le fait qu'une application de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ a une tangente parallèle à n'importe laquelle de ses cordes, le théorème [*] montre que c'est en fait valable pour n'importe quelle courbe dérivable dans $ \mathbb{R}^2$.
Corollaire [Règle de l'Hôpital] On se donne deux fonctions $ f$ et $ g$ de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ continues en $ a\in\mathbb{R}$, et dérivables sur un voisinage de $ a$ privé de $ a$, avec $ f(a)=g(a)=0$. On suppose que $ g$ et $ g'$ sont non nulles sur un voisinage de $ a$ privé de $ a$. Alors si $ \frac{f'}{g'}$ tend vers $ l$ en $ a$, alors $ \frac{f}{g}$ tend vers $ l$ en $ a$.
Démonstration: Il s'agit exactement d'une application de la proposition [*].$ \sqcap$$ \sqcup$
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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