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Intégrales de Wallis

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Intégrales de Wallis

Définition [Intégrale de Wallis] On définit la nième intégrale de Wallis par $I_n=\int_0^{\Pi/2} sin(x)^n.dx$ .
Supposons $n\geq 2$ . On peut écrire $I_n=\int_0^{\Pi/2} sin^{n-2}(x).(1-cos^2(x)).dx$ car

.
Ensuite on peut écrire $I_n=I_{n-2} - \int_0^{\Pi/2} sin^{n-2}(x).cos^2(x).dx$ .
Par une intégration par partie (théorème

) (on intègre $sin^{n-2}(x).cos(x)$ et on dérive

) on obtient $I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$
Le produit $n.I_n.I_{n-1}$ est donc constant, égal à $\Pi/2$ . Il reste à remarquer que $I_n \leq I_{n-1} \leq I_{n-2}=\frac{n}{n-1} I_n$ pour pouvoir dire que $I_n \simeq I_{n-1}$ . On peut alors conclure que: $\sqcap$ $\sqcup$
Proposition