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Intégrales de Wallis

Définition [Intégrale de Wallis] On définit la nième intégrale de Wallis par $ I_n=\int_0^{\Pi/2} sin(x)^n.dx$.
Supposons $ n\geq 2$. On peut écrire $ I_n=\int_0^{\Pi/2} sin^{n-2}(x).(1-cos^2(x)).dx$ car $ cos^2+sin^2=1$.
Ensuite on peut écrire $ I_n=I_{n-2} - \int_0^{\Pi/2} sin^{n-2}(x).cos^2(x).dx$.
Par une intégration par partie (théorème [*]) (on intègre $ sin^{n-2}(x).cos(x)$ et on dérive $ cos(x)$) on obtient $ I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2} $
Le produit $ n.I_n.I_{n-1}$ est donc constant, égal à $ \Pi/2$. Il reste à remarquer que $ I_n \leq I_{n-1} \leq I_{n-2}=\frac{n}{n-1} I_n$ pour pouvoir dire que $ I_n \simeq I_{n-1}$. On peut alors conclure que:$ \sqcap$$ \sqcup$
Proposition $ I_n \simeq \sqrt{\frac{\Pi}{2n}}$.


C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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