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Primitives de $ f$, $ \frac{f'}{f}=a/x+o(1/x)$

Théorème On se donne $ f$ une fonction $ >0$ et $ C^1$ au voisinage de $ +\infty$, et on suppose que $ \frac{f'}{f}=a/x+o(1/x)$, avec $ a\neq -1$. On définit $ F(x)=\int_b^x f(t)dt$. Si l'intégrale $ \int_b^{+\infty} f$ converge, on définit $ R_f(x)=\int_x^\infty f(t)dt$. Alors:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
a > - 1 \Rightarrow
\left\{\begin{arra...
...rge }
R_f(x) \simeq -\frac{xf(x)}{a+1}
\end{array}\right.
\end{array}\right.$

Démonstration: $ \bullet $Si $ a=0$, l'intégrale $ \int_b^\infty f(t)dt$ diverge car

$\displaystyle f'(x)/f(x)=o(1/x)$

$\displaystyle -\epsilon ln(x/b) \leq ln(f(x)/f(b))$

$\displaystyle f(x)/f(b) \geq (x/b)^{-\epsilon }$

Donc si $ \epsilon \leq 1$, on minore bien notre fonction par quelque chose de trop gros pour être intégrable. Il suffit ensuite de faire une intégration par partie (théorème [*]) pour justifier que $ F(x)=xf(x)-bf(b)-\int_b^x tf'(t)dt$. L'intégrale $ \int_b^x tf'(t)dt$ est un $ o(\int_b^x f(t)dt)$ puisque $ tf'(t)$ est un $ o(f(t))$, $ f$ étant positive et d'intégrale divergente. Donc $ F(x) \simeq xf(x)$.
$ \bullet $Si $ a\neq 0$, alors l'intégrale de $ a/x$ est de signe constant et est divergente en $ +\infty$, donc on peut écrire $ ln(f(x))\simeq a ln(x)$.
- Si $ a>-1$, avec $ \epsilon =(a+1)/2$ et $ \eta$ tel que pour $ x>\eta$, $ ln(f(x)) \geq (a-\epsilon ) ln(x)$, on a pour $ x>\eta$ $ f(x) \geq x^{a-\epsilon }$ avec $ a-\epsilon >-1$, et donc l'intégrale diverge. On peut alors écrire, grâce à une intégration par parties (théorème [*]):
$\displaystyle F(x)=xf(x)-bf(b)-\int_b^x f(t)dt$     (1.1)

Puisque l'intégrale diverge et puisque $ a f(t)\simeq tf'(t)$

$\displaystyle a F(x) \simeq \int_b^x tf'(t)dt$

En replaçant cette expression dans l'équation [*], on obtient

$\displaystyle F(x)=xf(x)-a F(x) + o(F(x))$

et donc

$\displaystyle F(x)\simeq \frac{xf(x)}{1+a}$

- Si $ a<-1$, avec $ \epsilon =(a+1)/2$ et $ \eta$ tel que pour $ x>\eta$ $ ln(f(x)) \leq (a+\epsilon ) ln(x)$, donc pour $ x>\eta$ $ f(x) \leq x^{a+\epsilon }$ avec $ a+\epsilon <-1$, et donc l'intégrale converge.
Par définition,

$\displaystyle R_f(x)=lim_{Y\to\infty} \int_x^Y f(t)dt$

On peut alors écrire, grâce à une intégration par parties (théorème [*]):
$\displaystyle R_f(x)=lim_{Y\to \infty} (Y f(Y) -xf(x) -\int_x^Y tf'(t)dt)$     (1.2)

Or $ \int_x^Y tf'(t)dt$ converge pour $ Y\to\infty$, et $ \int_x^\infty tf'(t)dt = a R_f(x)+o(R_f(x))$. donc

$\displaystyle R_f(x)=-\frac{1}{1+a}xf(x) + lim_{Y \to \infty} Y F(Y) + o(F(x))$

Par ailleurs $ Y f(Y)$ a une limite en $ +\infty$ (au vu de l'équation [*]); cette limite ne peut être que 0, vue la convergence de l'intégrale de $ f$. D'où

$\displaystyle R_f(x)=-\frac{1}{1+a}xf(x) + o(R_F(x))$

ce qui est bien le résultat souhaité.$ \sqcap$$ \sqcup$
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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