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Méthode de Laplace

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Méthode de Laplace

Théorème [Méthode de Laplace] Soit

une fonction

sur

, avec $(a,b)\in \overline \mathbb{R}^2$ , telle que

admette un maximum unique en $c \in ]a,b[$ , avec

n'ayant pas

pour valeur d'adhérence

pour $x\to a$ ni pour $x\to b$ , et soit

une fonction continue sur

avec $g(c)\neq 0$ . On suppose en outre que pour tout

l'intégrale

$\displaystyle \int_a^b \vert g(x)\vert e^{tf(x)}dx$

est convergente. Alors

$\displaystyle \int_a^b g(x)e^{tf(x)}dx \simeq_{t\to\infty} \frac{\sqrt{2\Pi}g(c)e^{tf(c)}}{\sqrt{-tf''(c)}}$

Démonstration: $\bullet$ En remplaçant

par

on se ramène au cas où

, quitte à changer

(s'ils ne sont pas infinis).
$\bullet$ Quitte à remplacer

par

, on suppose

.
$\bullet$ On se donne $\epsilon >0$ .
$\bullet$ On se donne $\partial >0$ , suffisamment petit pour que $\vert x\vert\leq \delta$ implique

$\displaystyle f(0)+\frac{f''(0)}{2}x^2(1+\epsilon ) \leq f(x) \leq f(0)+\frac{f''(0)}{2}x^2(1-\epsilon )$

$\displaystyle (1-\epsilon )g(0)\leq g(x) \leq (1+\epsilon )g(0)$

$\bullet$ On précise alors $I(\partial ,t)=\int_0^\partial g(x)e^{tf(x)}dx$ ;

$\displaystyle \int_0^\partial g(x)e^{tf(0)+t\frac{f''(0)}2(1+\epsilon )x^2}\leq I(\partial ) \leq \int_0^\partial g(x)e^{tf(0)+t\frac{f''(0)}2(1-\epsilon )x^2}$

$\bullet$ On cherche alors à préciser $U(\partial ,t,\pm)=\int_0^\partial g(x)e^{tf(0)+t\frac{f''(0)}2(1\pm \epsilon )x^2}$ .

$\displaystyle \int_0^d g(0)(1-\epsilon )e^{tf(0)+t\frac{f''(0)}2(1\pm \epsilon ... ...m)\leq \int_0^d g(0)(1+\epsilon )e^{tf(0)+t\frac{f''(0)}2(1\pm \epsilon )x^2}dx$

- On effectue un changement de variable $y=x\sqrt{-tf''(0)(1-\epsilon )/2}$ .
- En ne traitant que l'inégalité de droite (l'autre étant similaire):

$\displaystyle U(\partial ,t,\pm) \leq \frac{\int_0^{ \partial {\sqrt{-tf''(0)(1... ...lon )/2}}} g(0)(1+\epsilon )e^{tf(0)-y^2}dy}{\sqrt{-tf''(0)(1\pm \epsilon )/2}}$

- On a alors

$\displaystyle U(\partial ,t,\pm) \leq \frac{g(0)e^{tf(0)}\int_0^{ \partial {\sq... ...m \epsilon /2)}}\leq e^{tf(0)}g(0) \frac{2\Pi}{2\sqrt{-tf''(0)(1\pm\epsilon )}}$

$\bullet$ Majorons maintenant $U(\partial ,t,-)$ , en prenant garde au fait que $\partial$ dépend de $\epsilon$ :

$\displaystyle U(\partial ,t,-)\leq \int_0^\partial g(0)(1+\epsilon )e^{tf(0)+t\frac{f''(0)}2(1-\epsilon )x^2}dx$

avec $y=\sqrt{-tf''(0)(1-\epsilon )}x$ ,

$\displaystyle \leq \int_0^{\partial {\sqrt{-tf''(0)(1- \epsilon )x}}} \frac{g(0)(1+\epsilon )e^{tf(0)-y^2}dy}{\sqrt{-tf''(0)(1- \epsilon )x}}$

$\displaystyle \leq g(0)(1+\epsilon ) e^{tf(0)}\frac{\int_0^\infty e^{-y^2}dy}{\sqrt{-tf''(0)(1- \epsilon )x}}$

Or $\int_0^\infty e^{-y^2}dy=\frac{\sqrt{\pi}}2$ , donc

$\displaystyle \leq \frac {\sqrt{2\pi}g(0)e^{tf(0)}(1+\epsilon )}{2\sqrt{-tf''(0)}\sqrt{1-\epsilon }}$

De même on minore $U(\partial ,t,+)$ par

$\displaystyle \int_0^\partial g(0)(1-\epsilon )e^{tf(0)+t\frac{f''(0)}2(1+\epsilon )x^2}dx$

avec $y=\sqrt{-tf''(0)\frac{1+\epsilon }2}$ on arrive à

$\displaystyle \geq \frac{\sqrt{2\pi}g(0)e^{tf(0)}(1-\epsilon )}{2\sqrt{-tf''(0)}(1+\epsilon )}$

pour $t\geq T_\epsilon$ . $\bullet$ On conclut alors que $I(\partial ,t)$ , qui vérifie

$\displaystyle U(\partial ,t,+) \leq I(\partial ,t) \leq U(\partial ,t,-)$

est compris entre $\frac{1-\epsilon }{1+\epsilon } F(t)$ et $\frac{1+\epsilon }{\sqrt{1-\epsilon }}F(t)$ , avec $F(t)=\frac{\sqrt{2\pi}g(0)e^{tf(0)}}{2\sqrt{-tf''(0)}}$ . $\bullet$ $I(\partial ,t)$ est équivalent à $e^{tf(0)}g(0) \frac{2\Pi}{2\sqrt{-tf''(0)(1-\epsilon )}}$ $\bullet$ On considère par ailleurs $V(\partial ,t)=\int_\partial ^b g(x)e^{tf(x)}$ .
- $\vert V(\partial ,t)\vert\leq \int_\partial ^b \vert g(x)\vert e^{(t-1)f(x)}e^{f(x)}dx$
- Pour $x\in [\partial ,b]$ , $f(x)\leq f(\partial )$ , si du moins on prend la peine d'imposer $\partial$ suffisamment petit.
- Donc pour un tel $\partial$ , $\vert V(\partial ,t)\vert\leq e^{(t-1)f(\partial )} \int_\partial ^b \vert g(x)\vert e^{f(x)}dx$
- Or $\int_\partial ^b \vert g(x)\vert e^{f(x)}dx \leq \int_a^b \vert g(a)\vert e^{f(x)} < \infty$ (