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Méthode de Laplace

Théorème [Méthode de Laplace] Soit $ f$ une fonction $ C^2$ sur $ ]a,b[$, avec $ (a,b)\in \overline \mathbb{R}^2$, telle que $ f$ admette un maximum unique en $ c \in ]a,b[$, avec $ f''(c)<0$, $ f$ n'ayant pas $ f(c)$ pour valeur d'adhérence pour $ x\to a$ ni pour $ x\to b$, et soit $ g$ une fonction continue sur $ ]a,b[$ avec $ g(c)\neq 0$. On suppose en outre que pour tout $ t$ l'intégrale

$\displaystyle \int_a^b \vert g(x)\vert e^{tf(x)}dx$

est convergente. Alors

$\displaystyle \int_a^b g(x)e^{tf(x)}dx \simeq_{t\to\infty} \frac{\sqrt{2\Pi}g(c)e^{tf(c)}}{\sqrt{-tf''(c)}}$


Démonstration: $ \bullet $En remplaçant $ f(x)$ par $ f(x-c)$ et $ g(x)$ par $ g(x-c)$ on se ramène au cas où $ c=0$, quitte à changer $ a$ et $ b$ (s'ils ne sont pas infinis).
$ \bullet $Quitte à remplacer $ g$ par $ -g$, on suppose $ g(0)>0$.
$ \bullet $On se donne $ \epsilon >0$.
$ \bullet $On se donne $ \partial >0$, suffisamment petit pour que $ \vert x\vert\leq \delta$ implique

$\displaystyle f(0)+\frac{f''(0)}{2}x^2(1+\epsilon ) \leq f(x) \leq f(0)+\frac{f''(0)}{2}x^2(1-\epsilon )$

et

$\displaystyle (1-\epsilon )g(0)\leq g(x) \leq (1+\epsilon )g(0)$

$ \bullet $On précise alors $ I(\partial ,t)=\int_0^\partial g(x)e^{tf(x)}dx$;

$\displaystyle \int_0^\partial g(x)e^{tf(0)+t\frac{f''(0)}2(1+\epsilon )x^2}\leq I(\partial ) \leq \int_0^\partial g(x)e^{tf(0)+t\frac{f''(0)}2(1-\epsilon )x^2}$

$ \bullet $On cherche alors à préciser $ U(\partial ,t,\pm)=\int_0^\partial g(x)e^{tf(0)+t\frac{f''(0)}2(1\pm \epsilon )x^2}$.

$\displaystyle \int_0^d g(0)(1-\epsilon )e^{tf(0)+t\frac{f''(0)}2(1\pm \epsilon ...
...m)\leq \int_0^d g(0)(1+\epsilon )e^{tf(0)+t\frac{f''(0)}2(1\pm \epsilon )x^2}dx$

- On effectue un changement de variable $ y=x\sqrt{-tf''(0)(1-\epsilon )/2}$.
- En ne traitant que l'inégalité de droite (l'autre étant similaire):

$\displaystyle U(\partial ,t,\pm) \leq \frac{\int_0^{ \partial {\sqrt{-tf''(0)(1...
...lon )/2}}} g(0)(1+\epsilon )e^{tf(0)-y^2}dy}{\sqrt{-tf''(0)(1\pm \epsilon )/2}}$

- On a alors

$\displaystyle U(\partial ,t,\pm) \leq \frac{g(0)e^{tf(0)}\int_0^{ \partial {\sq...
...m \epsilon /2)}}\leq e^{tf(0)}g(0) \frac{2\Pi}{2\sqrt{-tf''(0)(1\pm\epsilon )}}$

$ \bullet $Majorons maintenant $ U(\partial ,t,-)$, en prenant garde au fait que $ \partial $ dépend de $ \epsilon $ :

$\displaystyle U(\partial ,t,-)\leq \int_0^\partial g(0)(1+\epsilon )e^{tf(0)+t\frac{f''(0)}2(1-\epsilon )x^2}dx$

avec $ y=\sqrt{-tf''(0)(1-\epsilon )}x$,

$\displaystyle \leq \int_0^{\partial {\sqrt{-tf''(0)(1- \epsilon )x}}} \frac{g(0)(1+\epsilon )e^{tf(0)-y^2}dy}{\sqrt{-tf''(0)(1- \epsilon )x}}$

$\displaystyle \leq g(0)(1+\epsilon ) e^{tf(0)}\frac{\int_0^\infty e^{-y^2}dy}{\sqrt{-tf''(0)(1- \epsilon )x}}$

Or $ \int_0^\infty e^{-y^2}dy=\frac{\sqrt{\pi}}2$, donc

$\displaystyle \leq \frac {\sqrt{2\pi}g(0)e^{tf(0)}(1+\epsilon )}{2\sqrt{-tf''(0)}\sqrt{1-\epsilon }}$

De même on minore $ U(\partial ,t,+)$ par

$\displaystyle \int_0^\partial g(0)(1-\epsilon )e^{tf(0)+t\frac{f''(0)}2(1+\epsilon )x^2}dx$

avec $ y=\sqrt{-tf''(0)\frac{1+\epsilon }2}$ on arrive à

$\displaystyle \geq \frac{\sqrt{2\pi}g(0)e^{tf(0)}(1-\epsilon )}{2\sqrt{-tf''(0)}(1+\epsilon )}$

pour $ t\geq T_\epsilon $. $ \bullet $On conclut alors que $ I(\partial ,t)$, qui vérifie

$\displaystyle U(\partial ,t,+) \leq I(\partial ,t) \leq U(\partial ,t,-)$

est compris entre $ \frac{1-\epsilon }{1+\epsilon } F(t)$ et $ \frac{1+\epsilon }{\sqrt{1-\epsilon }}F(t)$, avec $ F(t)=\frac{\sqrt{2\pi}g(0)e^{tf(0)}}{2\sqrt{-tf''(0)}}$. $ \bullet $ $ I(\partial ,t)$ est équivalent à $ e^{tf(0)}g(0) \frac{2\Pi}{2\sqrt{-tf''(0)(1-\epsilon )}}$ $ \bullet $On considère par ailleurs $ V(\partial ,t)=\int_\partial ^b g(x)e^{tf(x)}$.
- $ \vert V(\partial ,t)\vert\leq \int_\partial ^b \vert g(x)\vert e^{(t-1)f(x)}e^{f(x)}dx$
- Pour $ x\in [\partial ,b]$, $ f(x)\leq f(\partial )$, si du moins on prend la peine d'imposer $ \partial $ suffisamment petit.
- Donc pour un tel $ \partial $, $ \vert V(\partial ,t)\vert\leq e^{(t-1)f(\partial )} \int_\partial ^b \vert g(x)\vert e^{f(x)}dx$
- Or $ \int_\partial ^b \vert g(x)\vert e^{f(x)}dx \leq \int_a^b \vert g(a)\vert e^{f(x)} < \infty$ ($ <$ par hypothèse)
$ \bullet $ $ V(\partial ,t)=o(I(\partial ,t)$ pour $ t\to\infty$ (car $ f(\partial )<f(0)$)
$ \bullet $On en déduit

$\displaystyle \int_0^b g(x)e^{tf(x)} \simeq e^{tf(0)}g(0) \frac{\sqrt{2\pi}}{2\sqrt{-tf''(0)(1-\epsilon )}}$

$ \bullet $En effectuant la même man\oeuvre sur $ ]a,c]$ et en sommant (les équivalents étant tous deux positifs) on obtient le résultat désiré...$ \sqcap$$ \sqcup$

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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