Théorème [Méthode de Laplace]
Soit une fonction sur , avec
, telle que admette un maximum unique en , avec , n'ayant pas pour valeur d'adhérence pour ni pour , et soit une fonction continue sur avec
.
On suppose en outre que pour tout l'intégrale
est convergente.
Alors
Démonstration:En remplaçant par et par on se ramène au cas où , quitte à changer et (s'ils ne sont pas infinis).
Quitte à remplacer par , on suppose .
On se donne
.
On se donne
, suffisamment petit pour que
implique
et
On précise alors
;
On cherche alors à préciser
.
- On effectue un changement de variable
.
- En ne traitant que l'inégalité de droite (l'autre étant similaire):
- On a alors
Majorons maintenant
, en prenant garde au fait que dépend de :
avec
,
Or
, donc
De même on minore
par
avec
on arrive à
pour
.
On conclut alors que
, qui vérifie
est compris entre
et
, avec
.
est équivalent à
On considère par ailleurs
.
-
- Pour
,
, si du moins on prend la peine d'imposer suffisamment petit.
- Donc pour un tel ,
- Or
( par hypothèse)
pour
(car
)
On en déduit
En effectuant la même manuvre sur et en sommant (les équivalents étant tous deux positifs) on obtient le résultat désiré... suivant:Zoologie des suites monter:Zoologie de l'intégration précédent:Primitives de ,
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud