Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
72 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Moyenne de Césaro next up previous index
suivant: Constante d'Euler monter: Zoologie des suites précédent: Zoologie des suites   Index

Moyenne de Césaro

Théorème [Moyenne de Césaro] On se donne une suite $ u_n$ à valeurs dans un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel normé $ E$. Soit $ {\lambda}_n$ une suite de réels $ >0$, telle que $ \sum {\lambda}_n$ diverge. Alors si $ u_n \to l$, alors $ v_n \to l$, avec $ v_n=\frac{\sum_{k=0}^n {\lambda}_k.u_k}{\sum_{k=0}^n {\lambda}_k}$.
Démonstration: $ \bullet $On se ramène tout d'abord au cas où $ l=0$, simplement en considérant la suite de terme général $ u_n-l$ (il est clair que $ v_n$ est ainsi diminué lui aussi de $ l$).
$ \bullet $On se donne $ \epsilon >0$; il existe un certain $ N$ tel que pour tout $ n>N$, $ \vert u_n\vert < \epsilon $.
$ \bullet $Pour $ n>N$, on a alors

$\displaystyle v_n =\frac{\sum_{k=0}^N {\lambda}_k.u_k}{\sum_{k=0}^n {\lambda}_k}$

$\displaystyle +\frac{\sum_{k=N+1}^n {\lambda}_k.u_{k}}{\sum_{k=0}^n {\lambda}_k}$

$ \bullet $Le premier terme de la somme ci-dessus tend clairement vers 0, le second est plus petit qu'$ \epsilon $ (en valeur absolue), d'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$


C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page