Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
141 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Précompacité next up previous
suivant: Théorème d'Ascoli monter: Précompacité et théorème d'Ascoli précédent: Introduction

Précompacité

On considère dans cette partie un espace métrique (X,d).

Définition On dit que la famille $\lbrace x_i;i=1,...,p \rbrace$ d'éléments de X est un $\varepsilon$-réseau de X si X= $\displaystyle{\bigcup_{i=1}^p} \overline{B}(x_i,\varepsilon)$ $\overline{B}(x,\varepsilon)$ désigne la boule fermée de centre x et de rayon $\varepsilon$.

Définition On dit que (X,d) est précompact si $\forall \varepsilon>0$ il existe un $\varepsilon$-réseau de X.

Proposition Si (X,d) est précompact, alors pour tout sous ensemble Y de X muni de la métrique induite (notée, par abus d'écriture, d):

  • (Y,d) est précompact.

  • ($\overline Y$,d) est précompact.

$ $
Démonstration
  • Montrons que (Y,d) est précompact. Soit $\varepsilon>0$ et soit $\lbrace x_i;i=1,...,p \rbrace$ un $\varepsilon/2$-réseau de X. En particulier, on a Y $\subset \displaystyle{\bigcup_{i=1}^p} \overline{B}(x_i,\varepsilon/2)$. Nommons A la sous famille de $\lbrace x_i;i=1,...,p \rbrace$ des éléments x$_i$ tels que $\overline{B}(x_i,\varepsilon/2)$ intersecte Y. On peut écrire: Y $\subset \displaystyle{\bigcup_{i=1}^p} \overline{B}(x_i,\varepsilon/2)$. Le problème est que les x$_i$ de A ne sont pas nécessairement éléments de Y. Par contre, comme pour tout x$_i$ de A, $\overline{B}(x_i,\varepsilon/2) \cap Y \neq \emptyset$, dans chacune de ces intersections, on peut trouver un élément y$_i$ de A tel que

    \begin{displaymath}\overline{B}(x_i,\varepsilon/2)\subset \overline{B}(y_i,\varepsilon).\end{displaymath}

    La famille $\lbrace y_i \rbrace$ est alors un $\varepsilon$-réseau de Y.

  • Montrons que ($\overline Y$,d) est précompact si (Y,d) l'est. Soit $\varepsilon>0$. Soit $\lbrace x_i ; i=1,...,n \rbrace$ un $\varepsilon$ réseau de Y. On peut donc écrire: Y $\subset \displaystyle{\bigcup_{i=1}^p} \overline{B}(x_i,\varepsilon)$ et donc

    \begin{displaymath}\overline{Y} \subset \overline{\displaystyle{\bigcup_{i=1}^p} \overline{B}(x_i,\varepsilon)}.\end{displaymath}

    Mais ceci implique que $\overline{Y}\subset \displaystyle{\bigcup_{i=1}^p} \overline{B}(x_i,\varepsilon)$, cqfd.

$ $

Théorème On a équivalence entre:

  • (X,d) est compact.

  • (X,d) est précompact et complet.

$ $

Démonstration

  • Supposons que X est compact. Soit $\varepsilon>0$ et soit le recouvrement ouvert de X: (B(x,$\varepsilon$))$_{x\in X}$. Comme X est compact, on peut en extraire un recouvrement fini de la forme (B(x$_i$,$\varepsilon$))$_{i=1,...,n}$ où les x$_i$ sont des éléments de X. On a ainsi prouvé l'existence d'un $\varepsilon$-réseau. D'autre part, on sait que tout espace métrique compact est complet.

  • Supposons X précompact et complet. Supposons de plus que X n'est pas compact. Soit la suite de réels ($\varepsilon_n$) $_{n\in {\rm I\!N }}$ choisie en sorte qu'elle soit convergente vers 0. Comme X est précompact, il existe un $\varepsilon_0$-réseau de X: $\lbrace x_i ; i=1,...,n \rbrace$. Comme X n'est pas compact, on peut trouver un recouvrement ouvert de X : $(U_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ tel qu'aucune sous famille finie de ce recouvrement ne recouvre X. En particulier, il existe une boule B$_0$=$\overline{B}$(x$_i$,$\varepsilon_0$) (où x$_i$ est un élément du $\varepsilon_0$-réseau) telle qu'aucune sous famille fini de $(U_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ ne la recouvre. On recommence le même raisonnement au sein du sous espace précompact B$_0$=$\overline{B}$(x$_i$,$\varepsilon_0$). On choisit un $\varepsilon_1$-réseau de B$_0$: $\lbrace y_1,....,y_m \rbrace$. Ceci nous permet de construire une boule B$_1$=$\overline{B}$(y$_k$,$\varepsilon_1$) où y$_k$ est un élément du $\varepsilon_1$-réseau. La boule B$_1$ est telle qu'aucune sous famille de $(U_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ ne la recouvre. On construit par récurrence et par cette méthode une suite décroissante de boules fermées $(B_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ telle que B$_i$ a pour rayon $\varepsilon_i$. Aucune sous famille finie de $(U_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ ne recouvre un élément B$_i$ de cette suite. Par contre, comme $(B_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est une suite de sous ensemble de X dont le diamètre ( diamètre de B$_k$=$\varepsilon_k$ ) tend vers 0 et que X est complet, il existe un élément x de X tel que $\displaystyle{\bigcap_{i \geq 0}} B_i=\lbrace x \rbrace $. x étant élément de X et $(U_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ étant une famille dont la réunion est égale à X, il existe un élément U$_i$ de $(U_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ tel que x$\in$ U$_i$. Mais U$_i$ est un ouvert de X. On peut donc trouver un réel strictement positif $\varepsilon$ tel que $B(x,\varepsilon)$ $\subset$ U$_i$. Mais comme x est élément de chaque B$_k$ pour k $\in$ INet que $(\varepsilon_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ tend vers 0, on peut trouver une boule B$_k$ de rayon suffisemment petit en sorte qu'elle soit toute entière contenue dans $B(x,\varepsilon)$. Cette boule B$_k$ est tout entière dans U$_i$ et est par conséquent recouvrable par une sous famille finie de $(U_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$. Ceci est en contradiction avec ce que nous connaissons de $(B_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ et prouve que notre hypothèse de départ est fausse. Ainsi X est compact.
$ $

Ajoutons la définition suivante:

Définition On dira qu'un sous espace A d'un espace topologique (Z,$\cal O$) est relativement compact (pour la topologie induite) si son adhérence est compact.


next up previous
suivant: Théorème d'Ascoli monter: Précompacité et théorème d'Ascoli précédent: Introduction
Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les.mathematiques
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page