Théorème d'Ascoli

On considère dans cette section deux espaces métriques (X,d) et (Y, $\delta$ ). Nous allons travailler sur l'espace $\cal C$ (X,Y) des applications continues de X dans Y. Nous allons supposer que (X,d) est un espace métrique compact. Ainsi on pourra munir $\cal C$ (X,Y) de la topologie de la convergence uniforme. On notera, comme d'habitude, si et sont des éléments de $\cal C$ (X,Y), $\Vert\vert f-g\Vert\vert=\displaystyle{\sup_{x\in X}}\delta(f(x),g(x))$ . Rappelons aussi que si (Y, $\delta$ ) est complet alors il en est de même de $\cal C$ (X,Y).

Définition Soit A une partie de $\cal C$ (X,Y). On dira que A est équicontinue sur X si

$\begin{displaymath}\forall \varepsilon>0 \exists \eta>0; \forall f\in A \fora... ...x,y\in X;d(x,y)<\eta \Rightarrow \delta(f(x),f(y))<\varepsilon.\end{displaymath}$

On remarque que l'équicontinuité est une généralisation de l'uniforme continuité.

Théorème d'Ascoli Soit A une partie de $\cal C$ (X,Y). On a équivalence entre:

A est équicontinue sur X.
A est relativement compact dans $\cal C$ (X,Y) muni de la topologie de la convergence uniforme.

Démonstration

Supposons que A est relativement compact. Montrons que A est équicontinue. Choisissons un réel $\varepsilon$ >0. Comme $\overline A$ est compact, on peut trouver une famille $(f_i)_{i=1,..,n}$ d'éléments de $\overline A$ tel que $\overline{A}\subset \displaystyle{\bigcup_{i=1}^n B(f_i,\varepsilon/3)}$ . Soit un élément de A. On cherche un réel $\eta$ indépendant de $f\in$ A tel que pour tout x,y $\in$ X vérifiant d(x,y)< $\eta$ alors $\delta(f(x),f(y))<\varepsilon$ . Prenons donc x et y dans X. On a, par l'inégalité triangulaire, pour tout i=1,..,n:

$\begin{displaymath}\delta(f(x),f(y))\leq\delta(f(x),f_i(x))+\delta(f_i(x),f_i(y))+\delta(f_i(y),f(y)).\end{displaymath}$

De plus comme est élément de A et que A est recouvert par des boules de rayon $\varepsilon/3$ et de centre les , on peut trouver k dans $\lbrace 1,...,n \rbrace$ tel que $f\in$ $B(f_k,\varepsilon)$ . En utilisant l'inégalité précédente dans le cas où i=k, on montre que

$\begin{displaymath}\delta(f(x),f(y))\leq {{\varepsilon}\over{3}}+\delta(f_k(x),f_k(y))+{{\varepsilon}\over{3}}.\end{displaymath}$

Les applications pour $i\in \lbrace 1,..,n \rbrace$ sont uniformément continues sur X car continues sur un compact. Pour tout x,y $\in$ X, on peut donc trouver un réel $\eta_i$ tel que d(x,y)< $\eta_i \Rightarrow \delta (f_i(x),f_i(y))<\varepsilon/3$ . Posons

$\begin{displaymath}\eta=\displaystyle{\inf_{i=1}^n \eta_i}.\end{displaymath}$

Alors si d(x,y)< $\eta$ , on a, pour tout i=1,..,n, $\delta(f_i(x),f_i(y))<\varepsilon/3$ . Cette inégalité est bien évidemment vraie si i=k, ce qui nous prouve, en utilisant la majoration précédente de $\delta(f(x),f(y))$ que

$\begin{displaymath}\delta(f(x),f(y))<{{\varepsilon}\over{3}}+{{\varepsilon}\over{3}}+{{\varepsilon}\over{3}}=\varepsilon.\end{displaymath}$

Le réel $\eta$ est bien indépendant de . Ainsi la famille A est équicontinue.
Supposons que A est équicontinue. Nous voulons montrer que $\overline{A}$ est compact. Cela revient à montrer que ce sous ensemble de $\cal C$ (X,Y) est précompact et complet. Comme $\overline{A}$ est fermé, on sait qu'il est complet comme sous espace fermé d'un espace complet. Reste à montrer qu'il est précompact. Mais il suffit, d'après la proposition démontrée au début de ce thème, de prouver que A est précompact. Nous allons devoir déterminer, à $\varepsilon$ donné, une famille finie F d'éléments de A tel que

$\begin{displaymath}A\subset \displaystyle{\bigcup_{f\in F}\overline {B}(f,\varepsilon)}.\end{displaymath}$

La difficulté principale à laquelle nous sommes confronté est celle de caractériser les ensembles $\overline{B}(f,\varepsilon)$ . Autrement dit, si est donnée dans A, comment décrire l'ensemble des $g\in$ A tels que $\delta(f,g)=\displaystyle{\sup_{x\in X} \delta(f(x),g(x))}\leq \varepsilon$ . A prioris, pour trouver un tel dans A, il faut vérifier autant d'inégalités qu'il y a de points x dans X!!! Essayons donc de trouver des conditions plus génériques sur g et qui nous garantissent la majoration désirée.
Comme X est compact, il est précompact. Comme A est équicontinue, il existe $\eta$ >0 tel que d(x,y)< $\eta\Rightarrow$ $\delta(f(x),f(y))<\varepsilon/3$ et $\delta(g(x),g(y))<\varepsilon/3$ . Choisissons alors un $\eta$ -réseau $\Delta=\lbrace x_1,...,x_n \rbrace$ de X. Supposons que notre application vérifie la condition suivante: Pour tout $\eta$ >0 et tout $\eta$ -réseau de X correspondant,

$\begin{displaymath}\bf { \forall i \in \lbrace 1,...,n \rbrace , \delta (f(x_i),g(x_i))<\varepsilon/3.}\end{displaymath}$

Alors on peut affirmer que $\delta (f,g)<\varepsilon$ . En effet, pour tout x dans X et tout i=1,...,n,

$\begin{displaymath}\delta(f(x),g(x))\leq \delta(f(x),f(x_i))+\delta(f(x_i),g(x_i))+\delta(g(x_i),g(x)).\end{displaymath}$

On a, pour les éléments de $\Delta$ et pour tout x vérifiant d(x,x)< $\eta$ : $\delta(f(x),f(x_i))<\varepsilon/3$ et $\delta(f(x),f(x_i))<\varepsilon/3$ . Ceci nous donne alors bien $\delta (f,g)<\varepsilon$ .
Formons dès lors une seconde hypothèse: On se donne un $\varepsilon$ /6-réseau de Y $\Xi=\lbrace y_j;j=1,..,m \rbrace$ et on suppose que g vérifie :

$\begin{displaymath}\bf\forall x_i \in \Delta \exists yk \in \Xi / f(x_i)\in\over... ...\varepsilon/6) et g(x_i)\in\overline{B}(y_k,\varepsilon/6).\end{displaymath}$

Si g vérifie cette seconde hypothèse alors pour tout i=1,..,n, $\delta(f(x_i),g(x_i))<\varepsilon$ et g vérifie la première hypothèse. Ceci implique que g vérifie l'inégalité $\delta(f,g)\leq \varepsilon$ . Nous disposons maintenant d'un critère utilisable pour savoir si une fonction de A vérifie $\delta(f,g)\leq \varepsilon$ . Posons

$\begin{displaymath}T=\lbrace \phi : \delta \rightarrow \Xi \rbrace\end{displaymath}$

et si $\phi$ est élément de T,

$\begin{displaymath}A_\phi=\lbrace f\in A ; \forall x_i\in\Delta f(x_i) \in \overline{B}(\phi(x_i),\varepsilon/6)\rbrace. \end{displaymath}$

Remarquons que T est de cardinal fini (card(T)=). Remarquons aussi que pour tout $f\in$ A, il existe un élément $\phi$ de T tel que $f\in A_\phi$ . En effet, comme Y est recouvert par des boules de rayon $\varepsilon/6$ et de centre les y de $\Xi$ , tout x de $\Delta$ à pour image par un élément qui est contenu dans l'une de ces boules, $\overline{B}(y_j,\varepsilon/6)$ par exemple. On définit alors notre application $\phi$ par $\phi(x_i)=y_j$ . Nous sommes alors en mesure d'écrire l'inclusion

$\begin{displaymath}A\subset \displaystyle{\bigcup_{\phi\in T} A_\phi}.\end{displaymath}$

Choisissons un élément $f_\phi$ dans chaque A $_\phi$ . Appelons B l'ensemble des $f_\phi$ ainsi choisis. B est un $\varepsilon$ -réseau de A: si f est élément de A $_\phi$ alors et $f_\phi$ vérifient toutes les deux la seconde hypothèse. Mais celle ci implique que $\delta (f,f_\phi)<\varepsilon$ et donc que $f\in$ $\overline{B}(f_\phi,\varepsilon)$ . Autrement dit A $_\phi\subset$ $\overline{B}(f_\phi,\varepsilon)$ et

$\begin{displaymath}A\subset\displaystyle{\bigcup_{\phi\in T} \overline{B}{(f_\phi,\varepsilon)}}.\end{displaymath}$

T étant de cardinal fini, ce recouvrement de A est fini. Ceci prouve la précompacité de A et termine la démonstration.