On considère dans cette section deux espaces métriques (X,d) et (Y,). Nous allons travailler sur l'espace (X,Y) des applications continues de X dans Y. Nous allons supposer que (X,d) est un espace métrique compact. Ainsi on pourra munir (X,Y) de la topologie de la convergence uniforme. On notera, comme d'habitude, si et sont des éléments de (X,Y),
. Rappelons aussi que si (Y,) est complet alors il en est de même de (X,Y).
Définition Soit A une partie de (X,Y). On dira que A est équicontinue sur X si
On remarque que l'équicontinuité est une généralisation de l'uniforme continuité.
Théorème d'Ascoli Soit A une partie de (X,Y). On a équivalence entre:
A est équicontinue sur X.
A est relativement compact dans (X,Y) muni de la topologie de la convergence uniforme.
Démonstration
Supposons que A est relativement compact. Montrons que A est équicontinue. Choisissons un réel >0. Comme est compact, on peut trouver une famille
d'éléments de tel que
. Soit un élément de A. On cherche un réel indépendant de A tel que pour tout x,yX vérifiant d(x,y)< alors
. Prenons donc x et y dans X. On a, par l'inégalité triangulaire, pour tout i=1,..,n:
De plus comme est élément de A et que A est recouvert par des boules de rayon et de centre les , on peut trouver k dans
tel que . En utilisant l'inégalité précédente dans le cas où i=k, on montre que
Les applications pour
sont uniformément continues sur X car continues sur un compact. Pour tout x,yX, on peut donc trouver un réel tel que d(x,y)<
. Posons
Alors si d(x,y)<, on a, pour tout i=1,..,n,
. Cette inégalité est bien évidemment vraie si i=k, ce qui nous prouve, en utilisant la majoration précédente de
que
Le réel est bien indépendant de . Ainsi la famille A est équicontinue.
Supposons que A est équicontinue. Nous voulons montrer que est compact. Cela revient à montrer que ce sous ensemble de (X,Y) est précompact et complet. Comme est fermé, on sait qu'il est complet comme sous espace fermé d'un espace complet. Reste à montrer qu'il est précompact. Mais il suffit, d'après la proposition démontrée au début de ce thème, de prouver que A est précompact. Nous allons devoir déterminer, à donné, une famille finie F d'éléments de A tel que
La difficulté principale à laquelle nous sommes confronté est celle de caractériser les ensembles
. Autrement dit, si est donnée dans A, comment décrire l'ensemble des A tels que
. A prioris, pour trouver un tel dans A, il faut vérifier autant d'inégalités qu'il y a de points x dans X!!! Essayons donc de trouver des conditions plus génériques sur g et qui nous garantissent la majoration désirée.
Comme X est compact, il est précompact.
Comme A est équicontinue, il existe >0 tel que d(x,y)<
et
. Choisissons alors un -réseau de X. Supposons que notre application vérifie la condition suivante: Pour tout >0 et tout -réseau de X correspondant,
Alors on peut affirmer que
. En effet, pour tout x dans X et tout i=1,...,n,
On a, pour les éléments de et pour tout x vérifiant d(x,x)<:
et
. Ceci nous donne alors bien
.
Formons dès lors une seconde hypothèse: On se donne un /6-réseau de Y
et on suppose que g vérifie :
Si g vérifie cette seconde hypothèse alors pour tout i=1,..,n,
et g vérifie la première hypothèse. Ceci implique que g vérifie l'inégalité
. Nous disposons maintenant d'un critère utilisable pour savoir si une fonction de A vérifie
.
Posons
et si est élément de T,
Remarquons que T est de cardinal fini (card(T)=). Remarquons aussi que pour tout A, il existe un élément de T tel que . En effet, comme Y est recouvert par des boules de rayon et de centre les y de , tout x de à pour image par un élément qui est contenu dans l'une de ces boules,
par exemple. On définit alors notre application par . Nous sommes alors en mesure d'écrire l'inclusion
Choisissons un élément dans chaque A. Appelons B l'ensemble des ainsi choisis. B est un -réseau de A: si f est élément de A alors et vérifient toutes les deux la seconde hypothèse. Mais celle ci implique que
et donc que . Autrement dit A et
T étant de cardinal fini, ce recouvrement de A est fini. Ceci prouve la précompacité de A et termine la démonstration.