Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
183 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Idéaux premiers next up previous
suivant: Parties multiplicatives et idéaux monter: Quelques Thèmes sur les précédent: introduction

Idéaux premiers

Proposition Soit A un anneau commutatif et unitaire; soient $ a$ un idéal de A, n un entier non nul et $ b_1,..., b_n$ des idéaux premiers de A. Alors on a:

$\displaystyle a\subset\displaystyle{\bigcup_{1\leq i \leq n} b_i \Rightarrow \exists k \in \lbrace 1,...,n \rbrace / a\subset b_k}.$

$  $

Démonstration Montrons cette propriété par récurrence sur n :
Pour n=1, c'est clair. Supposons la propriété vraie jusqu'à l'ordre n (n$ \geq$1), soient $ a$ un idéal de A et $ b_1,...,b_n,b_{n+1}$ des idéaux premiers avec $ a\subset\displaystyle{\bigcup_{1\leq i \leq n+1} b_i}$.

  • 1er cas : il existe i$ \neq$j dans $ \lbrace 1,...,n+1 \rbrace$ tels que $ b_i \subset b_j$. Cela implique qu'il existe une sous partie $ \lbrace b'_i \rbrace_{1 \leq i \leq n}\subset \lbrace b_i \rbrace_{1 \leq i \leq n+1}$ avec $ \displaystyle{\bigcup_{1\leq i \leq n} b'_i=\bigcup_{1\leq i \leq n+1} b_i}$, et donc la propriété est prouvée car on peut appliquer l'hypothèse de récurrence.
  • 2ème cas : pour tout i$ \neq$j dans $ \lbrace 1,...,n+1 \rbrace$ on a $ b_i \not \subset b_j$. Alors pour tout i dans $ \lbrace 1,...,n+1 \rbrace$, il existe x$ _i$ vérifiant :
    • x $ _i \in b_i$.
    • x $ _i \not \in b_j$ pour tout j$ \neq$i dans $ \lbrace 1,...,n+1 \rbrace$.

    Notons x= $ \displaystyle{\prod_{i \in\lbrace 1,...,n \rbrace} x_i}$. Il est alors clair que pour tout k tel que 1$ \leq$k$ \leq$n, x$ \in b_k$ et que x $ \not \in b_{n+1}$ (car $ b_{n+1}$ est premier). Supposons que l'on ait $ a \not \subset \displaystyle{\bigcup_{1\leq i \leq n} b_i}$ et $ a\not \subset b_{n+1}$ alors il existe:

    • a$ \in a$ tel que a $ \not \in \displaystyle{\bigcup_{1\leq i \leq n} b_i}$ (et donc a $ \in b_{n+1}$).
    • a'$ \in a$ tel que a' $ \not \in b_{n+1}$ (et donc a' $ \in \displaystyle{\bigcup_{1\leq i \leq n} b_i}$).
    Considérons alors a''=a+xa'. Clairement, a''$ \in a$ , donc a $ \in \displaystyle{\bigcup_{1\leq i \leq n+1} b_i}$. Soit r dans $ \lbrace 1,...,n+1 \rbrace$ tel que a''$ \in b_r$. Si r=n+1, i.e. a'' $ \in b_{n+1}$, alors (a''-a) $ \in b_{n+1}$ car a $ \in b_{n+1}$ , et donc xa' $ \in b_{n+1}$ , ce qui est impossible car x $ \not \in b_{n+1}$, a' $ \not \in b_{n+1}$ et b$ _{n+1}$ est premier. Donc on a 1$ \leq$r$ \leq$n; mais alors (a''-xa')$ \in b_r$ car x$ \in b_r$ , et donc a$ \in b_r$ , ce qui est absurde. Ainsi, l'hypothèse $ a \not \subset \displaystyle{\bigcup_{1\leq i \leq n} b_i}$ et $ a\not \subset b_{n+1}$ est fausse ; donc, ou bien $ a \subset b_{n+1}$, ce qui montre la propriété, ou bien $ a \subset \displaystyle{\bigcup_{1\leq i \leq n} b_i}$ , ce qui montre aussi la propriété car on peut alors appliquer l'hypothèse de récurrence.
$  $

Corollaire Soit A un anneau commutatif et unitaire; soient n$ \geq$2 un entier et $ b_1,..., b_n$ des idéaux premiers de A tels que pour tout i$ \neq$j dans $ \lbrace 1,...,n \rbrace$ on ait $ b_i \not \subset bj$. Alors $ \displaystyle{\bigcup_{1\leq i \leq n} b_i}$ n'est pas un idéal de A.

Démonstration Supposons que $ \displaystyle{\bigcup_{1\leq i \leq n} b_i}$ soit un idéal. Alors, comme $ \displaystyle{\bigcup_{1\leq i \leq n} b_i\subset\bigcup_{1\leq i \leq n} b_i}$, la proposition qui précède permet de dire qu'il existe k $ \in \lbrace 1,...,n \rbrace$ tel que $ \displaystyle{\bigcup_{1\leq i \leq n} b_i}\subset b_k$. Soit alors k' $ \in \lbrace 1,...,n \rbrace$, tel que k'$ \neq$k (Cela existe car n$ \geq$2). Alors $ \displaystyle{\bigcup_{1\leq i \leq n} b_i}\subset b_k \Rightarrow b_{k'}\subset b_k$, ce qui est contraire aux hypothèses. Ainsi $ \displaystyle{\bigcup_{1\leq i \leq n} b_i}$ n'est pas un idéal.


next up previous
suivant: Parties multiplicatives et idéaux monter: Quelques Thèmes sur les précédent: introduction
S_Rouzes_pour_les-mathematiques
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page