Proposition Soit A un anneau commutatif et unitaire; soient un idéal de A, n un entier non nul et
des idéaux premiers de A.
Alors on a:
Démonstration Montrons cette propriété par récurrence sur n :
Pour n=1, c'est clair. Supposons la propriété vraie jusqu'à l'ordre n (n1), soient un idéal de A et
des idéaux premiers avec
.
1er cas : il existe ij dans
tels que
. Cela implique qu'il existe une sous partie
avec
, et donc la propriété est prouvée car on peut appliquer l'hypothèse de récurrence.
2ème cas : pour tout ij dans
on a
. Alors pour tout i dans
, il existe x vérifiant :
x
.
x
pour tout ji dans
.
Notons x=
. Il est alors clair que pour tout k tel que 1kn, x et que x
(car est premier).
Supposons que l'on ait
et
alors il existe:
a tel que a
(et donc a
).
a' tel que a'
(et donc a'
).
Considérons alors a''=a+xa'. Clairement, a'' , donc a
. Soit r dans
tel que a''.
Si r=n+1, i.e. a''
, alors (a''-a)
car a
, et donc xa'
, ce qui est impossible car x
, a'
et b est premier.
Donc on a 1rn; mais alors (a''-xa') car x , et donc a , ce qui est absurde.
Ainsi, l'hypothèse
et
est fausse ; donc, ou bien
, ce qui montre la propriété, ou bien
, ce qui montre aussi la propriété car on peut alors appliquer l'hypothèse de récurrence.
Corollaire Soit A un anneau commutatif et unitaire; soient n2 un entier et
des idéaux premiers de A tels que pour tout ij dans
on ait
.
Alors
n'est pas un idéal de A.
Démonstration Supposons que
soit un idéal.
Alors, comme
, la proposition qui précède permet de dire qu'il existe k
tel que
.
Soit alors k'
, tel que k'k (Cela existe car n2).
Alors
, ce qui est contraire aux hypothèses.
Ainsi
n'est pas un idéal.