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Racine d'un idéal

Définition Soit A un anneau commutatif et unitaire ; soit $ a$ un idéal de A. On appelle racine de $ a$, l'ensemble ( noté $ \sqrt a$) défini par :

$\displaystyle \sqrt a=\lbrace x \in A / \exists n \in {\rm I\!N }^* / x^n \in a \rbrace.$

En particulier, $ \sqrt{(0)}$ s'appelle le nilradical de A, et ses éléments s'appellent les éléments nilpotents de l'anneau A.

(N.B. il s'agit bien de la définition classique d'un élément nilpotent).

Proposition Soit A un anneau commutatif et unitaire; soient $ a$ et $ b$ deux idéaux de A.

  1. $ \sqrt a$ est un idéal de A, et $ a \subset \sqrt a$.
  2. $ \sqrt{\sqrt a}=\sqrt a$. (i.e. une racine est un idéal radiciel).
  3. $ \sqrt ab=\sqrt{a \cap b}$.
  4. $ \sqrt{a\cap b}=\sqrt a \cap \sqrt b$.
  5. $ \sqrt a=$A $ \Rightarrow a=$A.
  6. $ b$ est un idéal premier $ \Rightarrow \forall n \geq$1, $ \sqrt{b^n}=b$. (En particulier tout idéal premier est radiciel).
  7. $ \sqrt{a+b}=\sqrt{\sqrt a + \sqrt b}$.
$  $

Démonstration On utilise, sans les (re)démontrer les formules établies pour tout a, b de A (qui est commutatif) et m, n de IN:

  • x$ ^{m+n}$=x$ ^m$x$ ^n$.
  • (x$ ^m$)$ ^n$=x$ ^{mn}$.
  • (xy)$ ^n$=x$ ^n$y$ ^n$.
  • (x+y)$ ^n$= $ \displaystyle{\sum_{i=0}^n C_n^i x^i y^{n-i}}$.
Ces formules sont valables avec la convention x$ ^0$=1 pour tout x de A.

  1. Il est immédiat que $ a \subset \sqrt a$. Montrons que $ \sqrt a$ est un idéal de A ; soient donc x, y dans $ \sqrt a$, et t dans A. Soient n et m dans IN$ ^*$ tels que x$ ^n\in a$ et y$ ^m\in a$ ; alors

    $\displaystyle (x+y)^n=\displaystyle{\sum_{i=0}^{n+m} C_n^i x^i y^{n+m-i}}=\disp...
...{n} C_n^i x^i y^{n+m-i}}+\displaystyle{\sum_{i=n+1}^{n+m} C_n^i x^i y^{n+m-i}}=$

    $\displaystyle \displaystyle{y^m\sum_{i=0}^{n} C_n^i x^i y^{n-i}}+\displaystyle{x^n\sum_{i=n+1}^{n+m} C_n^i x^{i-n} y^{n+m-i}}$

    Par suite, (x+y) $ ^{n+m}\in a$ , et donc (x+y) $ \in \sqrt a$ . D'autre part, (t.x)$ ^n$=t$ ^n$x$ ^n\in a$ donc (t.a) $ \in \sqrt a$.
  2. D'après 1. On a $ \sqrt a \subset \sqrt{\sqrt a}$. Soit x $ \in \sqrt{\sqrt a}$ : il existe n dans IN$ ^*$ tel que x $ ^n \in \sqrt a$ ; par suite il existe m dans IN$ ^*$ tel que $ (x^n)^m\in a$, i.e. x$ ^m\in a$, et donc x $ \in \sqrt a$.
  3. On a $ ab\subset a\cap b$, donc $ \sqrt{ab} \subset \sqrt{a\cap b}$. Soit x $ \in \sqrt{a\cap b}$ ; il existe n dans IN$ ^*$ tel que x $ ^n\in a\cap b$. Ainsi, x$ ^n\in a$ , x$ ^n \in b$ , donc (x$ ^n$x$ ^n$)$ \in ab$, i.e. x $ ^{n+n}\in ab$ , et donc x $ \in \sqrt{ab}$.
  4. On a $ a\cap b\subset a$, donc $ \sqrt{a \cap b}\subset \sqrt a$; de même, $ \sqrt{a \cap b}\subset \sqrt b$ , donc $ \sqrt{a \cap b}\subset \sqrt a \cap \sqrt b$. Soit s $ \in \sqrt{a\cap b}$ ; il existe n et m dans IN$ ^*$ tels que x$ ^n\in a$ et x$ ^m \in b$; par suite x$ ^n$x$ ^m\in a$ et x$ ^n$x$ ^m \in b$ , i.e. x$ ^n$x $ ^m\in a\cap b$ et x $ \in \sqrt{a\cap b}$.
  5. Il est clair que $ \sqrt A$=$ A$; Soit $ a$ tel que $ \sqrt a=A$ ; alors 1 $ \in \sqrt a$, i.e. il existe n dans IN$ ^*$ tel que 1$ ^n\in a$ ; donc a$ \in a$ , et par suite $ a$=A.
  6. Il est immédiat qu'un idéal premier est radiciel, i.e. $ \sqrt b=b$ ; on montre alors la propriété par récurrence : elle est donc vrai pour n=1, et supposons que $ \sqrt b^n=b$; Alors $ \sqrt{b^{n+1}}=\sqrt{bb^n}$, et, d'après 3., $ \sqrt{bb^n}=\sqrt{b\cap b^n}$ , puis, d'après 4., $ \sqrt{b\cap b^n}=\sqrt{b}\cap \sqrt{b^n}$; or $ \sqrt b=b$ et $ \sqrt{b^n}=b$, donc $ \sqrt{b}\cap \sqrt{b^n}=b\cap b=b$; ainsi $ \sqrt{b^{n+1}}=b$.
  7. $ a \subset \sqrt a$ et $ b\subset \sqrt b$ , donc $ a+b\subset \sqrt a + \sqrt b$ et $ \sqrt{a+b}\subset \sqrt{\sqrt a + \sqrt b}$. Soit x $ \in \sqrt{\sqrt a + \sqrt b}$; il existe n dans IN$ ^*$ tel que x $ ^n \in {\sqrt a + \sqrt b}$; soient y $ \in \sqrt a$ et z $ \in \sqrt b$ tels que, x$ ^n$=y+z. Soient aussi r et s dans IN$ ^*$ tels que y$ ^r\in a$ et z$ ^s \in b$. Alors, par le même calcul qu'en 1., on a

    $\displaystyle (y+z)^{r+s}=\displaystyle{z^s\sum_{i=0}^{r} C_{r+s}^i y^i z^{r-i}}+\displaystyle{y^r\sum_{i=r+1}^{r+s} C_{r+s}^i y^{i-s} z^{r+s-i}}.$

    Par suite, (x$ ^n$)$ ^{r+s}$=z$ ^s$u+y$ ^r$v, i.e. x $ ^{n(r+s)}\in a+b$, et donc x $ \in \sqrt{a+b}$.
$  $


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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