Définition Soit A un anneau commutatif et unitaire ; soit un idéal de A. On appelle racine de , l'ensemble ( noté ) défini par :
En particulier,
s'appelle le nilradical de A, et ses éléments s'appellent les éléments nilpotents de l'anneau A.
(N.B. il s'agit bien de la définition classique d'un élément nilpotent).
Proposition Soit A un anneau commutatif et unitaire; soient et deux idéaux de A.
est un idéal de A, et
.
. (i.e. une racine est un idéal radiciel).
.
.
A
A.
est un idéal premier 1,
. (En particulier tout idéal premier est radiciel).
.
Démonstration On utilise, sans les (re)démontrer les formules établies pour tout a, b de A (qui est commutatif) et m, n de IN:
x=xx.
(x)=x.
(xy)=xy.
(x+y)=
.
Ces formules sont valables avec la convention x=1 pour tout x de A.
Il est immédiat que
.
Montrons que est un idéal de A ; soient donc x, y dans , et t dans A.
Soient n et m dans IN tels que x et y ; alors
Par suite, (x+y)
, et donc (x+y)
.
D'autre part, (t.x)=tx donc (t.a)
.
D'après 1. On a
.
Soit x
: il existe n dans IN tel que x
; par suite il existe m dans IN tel que
, i.e. x, et donc x
.
On a
, donc
.
Soit x
; il existe n dans IN tel que x
.
Ainsi, x , x , donc (xx), i.e. x
, et donc x
.
On a
, donc
;
de même,
, donc
.
Soit s
; il existe n et m dans IN tels que x et x; par suite xx et xx , i.e. xx
et x
.
Il est clair que =;
Soit tel que ; alors 1
, i.e. il existe n dans IN tel que 1 ; donc a , et par suite =A.
Il est immédiat qu'un idéal premier est radiciel, i.e. ; on montre alors la propriété
par récurrence : elle est donc vrai pour n=1, et supposons que
;
Alors
, et, d'après 3.,
, puis, d'après 4.,
; or et
, donc
; ainsi
.
et
, donc
et
.
Soit x
; il existe n dans IN tel que x
; soient y
et z
tels que, x=y+z. Soient aussi r et s dans IN tels que y et z.
Alors, par le même calcul qu'en 1., on a