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Racine d'un idéal

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Racine d'un idéal

Définition Soit A un anneau commutatif et unitaire ; soit un idéal de A. On appelle racine de , l'ensemble ( noté $\sqrt a$ ) défini par :

$\displaystyle \sqrt a=\lbrace x \in A / \exists n \in {\rm I\!N }^* / x^n \in a \rbrace.$

En particulier, $\sqrt{(0)}$ s'appelle le nilradical de A, et ses éléments s'appellent les éléments nilpotents de l'anneau A.

(N.B. il s'agit bien de la définition classique d'un élément nilpotent).

Proposition Soit A un anneau commutatif et unitaire; soient et deux idéaux de A.

$\sqrt a$ est un idéal de A, et $a \subset \sqrt a$ .
$\sqrt{\sqrt a}=\sqrt a$ . (i.e. une racine est un idéal radiciel).
$\sqrt ab=\sqrt{a \cap b}$ .
$\sqrt{a\cap b}=\sqrt a \cap \sqrt b$ .
$\sqrt a=$ A $\Rightarrow a=$ A.
est un idéal premier $\Rightarrow \forall n \geq$ 1, $\sqrt{b^n}=b$ . (En particulier tout idéal premier est radiciel).
$\sqrt{a+b}=\sqrt{\sqrt a + \sqrt b}$ .

Démonstration On utilise, sans les (re)démontrer les formules établies pour tout a, b de A (qui est commutatif) et m, n de IN:

x $^{m+n}$ =xx.
(x)=x $^{mn}$ .
(xy)=xy.
(x+y)= $\displaystyle{\sum_{i=0}^n C_n^i x^i y^{n-i}}$ .

Ces formules sont valables avec la convention x

=1 pour tout x de A.

Il est immédiat que $a \subset \sqrt a$ . Montrons que $\sqrt a$ est un idéal de A ; soient donc x, y dans $\sqrt a$ , et t dans A. Soient n et m dans IN tels que x $^n\in a$ et y $^m\in a$ ; alors

$\displaystyle (x+y)^n=\displaystyle{\sum_{i=0}^{n+m} C_n^i x^i y^{n+m-i}}=\disp... ...{n} C_n^i x^i y^{n+m-i}}+\displaystyle{\sum_{i=n+1}^{n+m} C_n^i x^i y^{n+m-i}}=$

$\displaystyle \displaystyle{y^m\sum_{i=0}^{n} C_n^i x^i y^{n-i}}+\displaystyle{x^n\sum_{i=n+1}^{n+m} C_n^i x^{i-n} y^{n+m-i}}$
Par suite, (x+y) $^{n+m}\in a$ , et donc (x+y) $\in \sqrt a$ . D'autre part, (t.x)=tx $^n\in a$ donc (t.a) $\in \sqrt a$ .
D'après 1. On a $\sqrt a \subset \sqrt{\sqrt a}$ . Soit x $\in \sqrt{\sqrt a}$ : il existe n dans IN tel que x $^n \in \sqrt a$ ; par suite il existe m dans IN tel que $(x^n)^m\in a$ , i.e. x $^m\in a$ , et donc x $\in \sqrt a$ .
On a $ab\subset a\cap b$ , donc $\sqrt{ab} \subset \sqrt{a\cap b}$ . Soit x $\in \sqrt{a\cap b}$ ; il existe n dans IN tel que x $^n\in a\cap b$ . Ainsi, x $^n\in a$ , x $^n \in b$ , donc (xx) $\in ab$ , i.e. x $^{n+n}\in ab$ , et donc x $\in \sqrt{ab}$ .
On a $a\cap b\subset a$ , donc $\sqrt{a \cap b}\subset \sqrt a$ ; de même, $\sqrt{a \cap b}\subset \sqrt b$ , donc $\sqrt{a \cap b}\subset \sqrt a \cap \sqrt b$ . Soit s $\in \sqrt{a\cap b}$ ; il existe n et m dans IN tels que x $^n\in a$ et x $^m \in b$ ; par suite xx $^m\in a$ et xx $^m \in b$ , i.e. xx $^m\in a\cap b$ et x $\in \sqrt{a\cap b}$ .
Il est clair que $\sqrt A$ =; Soit tel que $\sqrt a=A$ ; alors 1 $\in \sqrt a$ , i.e. il existe n dans IN tel que 1 $^n\in a$ ; donc a $\in a$ , et par suite =A.
Il est immédiat qu'un idéal premier est radiciel, i.e. $\sqrt b=b$ ; on montre alors la propriété par récurrence : elle est donc vrai pour n=1, et supposons que $\sqrt b^n=b$ ; Alors $\sqrt{b^{n+1}}=\sqrt{bb^n}$ , et, d'après 3., $\sqrt{bb^n}=\sqrt{b\cap b^n}$ , puis, d'après 4., $\sqrt{b\cap b^n}=\sqrt{b}\cap \sqrt{b^n}$ ; or $\sqrt b=b$ et $\sqrt{b^n}=b$ , donc $\sqrt{b}\cap \sqrt{b^n}=b\cap b=b$ ; ainsi $\sqrt{b^{n+1}}=b$ .
$a \subset \sqrt a$ et $b\subset \sqrt b$ , donc $a+b\subset \sqrt a + \sqrt b$ et $\sqrt{a+b}\subset \sqrt{\sqrt a + \sqrt b}$ . Soit x $\in \sqrt{\sqrt a + \sqrt b}$ ; il existe n dans IN tel que x $^n \in {\sqrt a + \sqrt b}$ ; soient y $\in \sqrt a$ et z $\in \sqrt b$ tels que, x=y+z. Soient aussi r et s dans IN tels que y $^r\in a$ et z $^s \in b$ . Alors, par le même calcul qu'en 1., on a

$\displaystyle (y+z)^{r+s}=\displaystyle{z^s\sum_{i=0}^{r} C_{r+s}^i y^i z^{r-i}}+\displaystyle{y^r\sum_{i=r+1}^{r+s} C_{r+s}^i y^{i-s} z^{r+s-i}}.$
Par suite, (x) $^{r+s}$ =zu+yv, i.e. x $^{n(r+s)}\in a+b$ , et donc x $\in \sqrt{a+b}$ .