Proposition Soit A un anneau commutatif et unitaire ; soit un idéal strict de A. Notons l'ensemble des idéaux premiers de A qui contiennent .
Alors :
.
.
Démonstration
P()
: En effet, est un idéal strict de A, donc il existe un idéal maximal contenant . Or est maximal donc premier. Par suite P() contient .
Montrons la double inclusion :
A/:
:
Soit x
; il existe donc un entier n1 tel que x.
Soit un idéal premier contenant . On montre aisément par récurrence que si un élément y de A n'est pas dans , alors aucune puissance de y n'est dans . (Car est premier).
Comme x, alors x , et d'après ce que l'on vient d'énoncer, on a x.
Comme ceci est vrai pour tout idéal premier contenant , on a bien
.
B/
:
Soit x
. Supposons que x
.
Soit S=
l'ensemble des puissances de x. Alors x
implique que
. Facilement, S est une partie multiplicative de A. Alors on sait qu'il existe un idéal premier tel que
et S=.
implique que P() , et par suite x (puisque x
).
Mais d'autre part S= implique que xd (puisque xS ) : absurde !
Donc l'hypothèse x
est fausse.
Corollaire Soit A un anneau commutatif et unitaire; soit x un élément de A.
Alors on a équivalence entre:
x est nilpotent.
x est élément de tout idéal premier de A.
Démonstration Soit spp(A) l'ensemble des idéaux premiers de A (le spectre premier de A). Alors la proposition précédente implique que
=
; ce qui démontre le corollaire. (cf. exo3 pour la définition de nilpotent).
Corollaire Soit A un anneau commutatif, unitaire et intègre.
Alors l'intersection de tous les idéaux premiers de A est
.
Démonstration Si A est intègre, il est immédiat que le seul élément nilpotent est 0 ; autrement dit,
(i.e. l'idéal (0) est radiciel, i.e. l'anneau A est réduit).
Ainsi d'après le corollaire précédent,
=(0).