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Idéal premier et racine d'un idéal

Proposition Soit A un anneau commutatif et unitaire ; soit $ a$ un idéal strict de A. Notons $ P(a)$ l'ensemble des idéaux premiers de A qui contiennent $ a$.
Alors :

  1. $ P(a)\neq \emptyset$.
  2. $ \sqrt a= \displaystyle{\bigcap_{b\in P(a)}b}$.
$  $
Démonstration
  1. P($ a$) $ \neq \emptyset$: En effet, $ a$ est un idéal strict de A, donc il existe un idéal maximal $ m$ contenant $ a$. Or $ m$ est maximal donc premier. Par suite P($ a$) contient $ m$.
  2. Montrons la double inclusion : A/: $ \sqrt a \subset \displaystyle \bigcap_{b \in P(a)}b$: Soit x $ \in \sqrt a$; il existe donc un entier n$ \geq$1 tel que x$ ^n\in a$. Soit $ b$ un idéal premier contenant $ a$. On montre aisément par récurrence que si un élément y de A n'est pas dans $ b$, alors aucune puissance de y n'est dans $ b$. (Car $ b$ est premier). Comme x$ ^n\in a$, alors x$ ^n \in b$ , et d'après ce que l'on vient d'énoncer, on a x$ \in b$. Comme ceci est vrai pour tout idéal premier contenant $ a$, on a bien $ x\in \displaystyle \bigcap_{b \in P(a)}b$. B/ $ \displaystyle \bigcap_{b \in P(a)}b\subset \sqrt a$: Soit x $ \in \displaystyle \bigcap_{b \in P(a)}b$. Supposons que x $ \not \in \sqrt a$. Soit S= $ \lbrace 1, x,...,x^n, ...\rbrace$ l'ensemble des puissances de x. Alors x $ \not \in \sqrt a$ implique que $ a\cap S=\emptyset$. Facilement, S est une partie multiplicative de A. Alors on sait qu'il existe un idéal $ d$ premier tel que $ a\subset d$ et $ d\cap$S=$ \emptyset$. $ a\subset d$ implique que $ d\in$P($ a$) , et par suite x$ \in d$ (puisque x $ \in \displaystyle \bigcap_{b \in P(a)}b$ ). Mais d'autre part $ d\cap$S=$ \emptyset$ implique que x$ \not \in$d (puisque x$ \in$S ) : absurde ! Donc l'hypothèse x $ \not \in \sqrt a$ est fausse.
$  $

Corollaire Soit A un anneau commutatif et unitaire; soit x un élément de A.
Alors on a équivalence entre:

  1. x est nilpotent.
  2. x est élément de tout idéal premier de A.
$  $

Démonstration Soit spp(A) l'ensemble des idéaux premiers de A (le spectre premier de A). Alors la proposition précédente implique que $ \sqrt{(0)}$= $ \displaystyle \bigcap_{b \in spp(A)}b$ ; ce qui démontre le corollaire. (cf. exo3 pour la définition de nilpotent).
Corollaire Soit A un anneau commutatif, unitaire et intègre.
Alors l'intersection de tous les idéaux premiers de A est $ \lbrace 0 \rbrace$.

Démonstration Si A est intègre, il est immédiat que le seul élément nilpotent est 0 ; autrement dit, $ \sqrt{(0)}=(0)$ (i.e. l'idéal (0) est radiciel, i.e. l'anneau A est réduit). Ainsi d'après le corollaire précédent, $ \displaystyle \bigcap_{b \in spp(A)}b$=(0).


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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