Anneau local

Définition Soit A un anneau commutatif et unitaire ; On dit que A est un anneau local si, et seulement si A possède un unique idéal maximal. (Rappelons que d'après le théorème de Krull, tout anneau non nul possède toujours au moins un idéal maximal).
Exemple Un corps est un anneau local. (car son seul idéal maximal est $\lbrace 0 \rbrace$ ).
Proposition Soit A un anneau commutatif et unitaire ; on note N l'ensemble des éléments non inversibles de A (N n'est pas vide car il contient toujours 0). Alors les propositions suivantes sont équivalentes :

A est un anneau local.
N est un idéal de A.

Démonstration Notons tout d'abord que tout idéal strict de A est inclus dans N, puisqu'un idéal strict ne peut contenir d'inversible. 1 $\Rightarrow$ 2 : Soit

l'unique idéal maximal de A.

est strict, donc $m\subset N$ . Soit x $\in N$ . x n'est pas inversible, donc l'idéal xA est strict ; par suite il est contenu dans un idéal maximal. Or

est l'unique idéal maximal, donc xA $\subset m$ , et par suite x $\in m$ : N $\subset m$ . 2 $\Rightarrow$ 1 : N est idéal strict car 1 $\not \in N$ . Comme il contient tout idéal strict, c'est maximum (pour l'inclusion) dans l'ensemble des idéaux stricts. Cela entraîne qu'il est idéal maximal, et unique maximal.