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Anneau des fractions d'un anneau

Proposition Soient A un anneau unitaire et commutatif. Soit S une partie multiplicative de A qui ne contient pas 0. On définit sur S$ \times$A deux opérations. Si a,a' sont éléments de A, s,s' sont éléments de S:

$\displaystyle (s,a)+(s',a')=(ss',sa'+s'a)$

$\displaystyle (s,a).(s',a')=(ss',aa').$

De plus, on considère la relation binaire $ \cal R$ sur S$ \times$A définie par: (s,a)$ \cal R$(s',a') $ \Leftrightarrow \exists$t$ \in$S/t(sa'-s'a)=0.
Alors:
  1. $ \cal R$ est une relation d'équivalence ; l'ensemble des classes d'équivalence est noté S$ ^{-1}$A, et la classe de (s,a) est notée $ \frac{a}{s}$ .
  2. Les deux opérations définies plus haut sont stables vis-à-vis de la relation R ; elles induisent sur S$ ^{-1}$A une structure d'anneau commutatif unitaire. L'élément nul est donné par $ \frac{0}{1}$ et l'unité est $ \frac{1}{1}$. S$ ^{-1}$A s'appelle l'anneau des fractions de A sur S.
  3. Soit i l'application de A dans S$ ^{-1}$A qui à a associe $ \frac{a}{1}$. Alors i est un homomorphisme d'anneau. De plus i est injectif si, et seulement si, S ne contient aucun diviseur de 0. Si cette condition est réalisée, on pourra donc considérer A comme un sous-anneau de S$ ^{-1}$A.
  4. S$ ^{-1}$A est l'anneau nul si, et seulement si, S contient un élément nilpotent, ce qui est aussi équivalent au fait que S contient 0.
$  $
Démonstration
  1. Montrons que $ \cal R$ est bien une ralation d'équivalence. Tout d'abord (s,a) $ \cal R$ (s,a) car sa-as=0. Donc $ \cal R$ esr réflexive. Ensuite, il est clair que si (s,a)$ \cal R$(s',a') alors (s',a')$ \cal R$(s,a). $ \cal R$ est donc symétrique. Reste à montrer la transitivité: Pour cela prenons (s,a), (s',a') et (s'',a'') des éléments de S$ \times$A tels que (s,a)$ \cal R$(s',a') et (s',a')$ \cal R$(s'',a''). Il existe donc t et t' dans S tels que t(sa'-s'a)=0 et t'(s'a''-a's'')=0. Alors tt's'(sa''-s''a)=tst's'a''-tt's's''a=tt'sa's''-tt's's''a=t's''t(a's-s'a)=0. Donc (a,s)$ \cal R$(a'',s''). $ \cal R$ est bien une relation d'équivalence.
  2. Montrons que les deux opérations sont compatibles avec la relation d'équivalence. Si (a,b), (a',b'), (c,d) et (c',d') sont des éléments de S$ \times$A, tels que (a,b)$ \cal R$(a',b') et (c,d)$ \cal R$(c',d'), il faut montrer d'une part que (a,b)+(c,d) $ \cal R$ a',b')+(c',d') et d'autre part que (a,b)(c,d)=(a',b')(c',d'). Montrons d'abord la compatibilité par rapport à l'addition. Comme (a,b)$ \cal R$(a',b'), il existe t$ \in$S tel que t(ab'-a'b)=0. Comme (c,d)$ \cal R$(c',d') il existe t'$ \in$S tel que t'(cd'-c'd)=0.Nous cherchons un élément T de S tel que T[ac(a'd'+b'c')-a'c'(ad+bc)]=0. Soit T tel que T[(ab'-a'b)cc'+(cd'-c'd)aa']=0. Si on prend T=tt' cela donne l'égalité voulue. Montrons la compatibilité par rapport à la multiplication. On a tt'(acb'd'-bda'c')=tt'(ab'cd'-a'bdc')=tt'(a'bcd'-a'bdc')=tt'a'b(cd'-d'c')=0, Cqfd.
  3. Soit i:A $ \longrightarrow$ S$ ^{-1}$A a $ \longrightarrow$ i(a)= $ \frac{a}{1}$. Vérifions tout d'abord que i est un homomorphisme d'anneaux. Tout d'abord: si x,y $ \in$A, i(x+y)= $ \frac{x+y}{1}$= $ \frac{x}{1}$+ $ \frac{y}{1}$. i est donc un morphisme de groupes additifs. D'autre part i(xy)= $ \frac{xy}{1}$= $ \frac{x}{1}\frac{y}{1}$=i(x)i(y). De plus i(1)= $ \frac{1}{1}$. i est donc bien un homomorphisme d'anneaux. D'autre part i est injectif si et seulement si son noyau se réduit à l'élément nul de A. Soit donc x$ \in$Ker i. Si i(x)=0 cela est équivalent au fait que $ \frac{x}{1}$=0. Cela revient à dire qu'il existe s dans S tel que sx=0. Cette dernière affirmation est équivalente à l'existence d'un diviseur s de 0 dans A.
  4. Supposons que S$ ^{-1}$A= $ \lbrace 0 \rbrace$ alors $ \forall$a$ \in$A $ \exists$s$ \in$S/sa=0. En particulier s$ ^2$=0. Ainsi S contient un élément nilpolent. Ensuite si S contient un élément nilpotent, s$ ^n$=0. 0 est donc élément de S. Enfin si 0 est élément de S, S$ ^{-1}$A= $ \lbrace 0 \rbrace$ car pour tout a de A, 0a=0. Donc a= $ \frac{0}{1}$.
$  $

Définition - Proposition Soit A un anneau commutatif unitaire. A est une partie miltiplicative de A. Considérons $ \cal A$= $ (A\setminus \lbrace 0 \rbrace)^{-1}$A=A $ \setminus \lbrace 0 \rbrace$$ \times$A/$ \cal R$ ( où $ \cal R$ est la relation d'équivalence précédemment définie) muni de l'addition et de la multiplication précédemment définie a une strucuture de corps. C'est le corps des fractions de l'anneau A. Les classes d'équivalcences des couples (b,a) sont notés $ \frac{a}{b}$. L'injection canonique i:A $ \longrightarrow$$ \cal A$ définie par i(x)= $ \frac{x}{1}$ permet de voir A comme un sous anneau de $ \cal A$.

Démonstration Par construction, tout élément de $ \cal A$ est inversible dans $ \cal A$. Ce dernier, qui au départ possède une structure d'anneau, possède donc une structure de corps.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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