Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
234 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Produit de sous parties d'un anneau next up previous
monter: Quelques Thèmes sur les précédent: Anneau des fractions d'un

Produit de sous parties d'un anneau

Proposition Soit A un anneau commutatif et unitaire , soient X et Y deux parties non vides de A, et $ a$ un idéal de A.
Par définition, XY est l'ensemble des éléments z de A du type :

$\displaystyle z=\displaystyle{\sum_{1\leq i \leq n} x_i y_i}$

où n est un entier naturel non nul, et où pour tout i $ \in \lbrace 1,...,n \rbrace$ x$ _i \in$X et y$ _i \in$Y.
Alors :
  1. X$ a$ est un idéal.
  2. En particulier, XA est le plus petit idéal de A contenant X ; de plus, X est un idéal si et seulement si X=XA . XA est appelé idéal engendré par X.
  3. Soit B un anneau commutatif unitaire et f un homomorphisme d'anneaux de A dans B. Soit $ b$ un idéal de B ; alors f$ ^{-1}(b)$ est un idéal de A. Si de plus f est surjective, alors f($ a$)=f($ a$)B et par suite f($ a$) est un idéal de B.
$  $
Démonstration
  1. Montrons que si X est une partie de A et si $ a$ est un idéal de A alors X$ a$ est un idéal de A. Il suffit pour cela de remarquer que si x,x'$ \in$X et si a,a'$ \in$A alors xa-xa'=xa+x(-a'). Comme a' est élément de a, il en est de même de -a'. Compte tenu de l'écriture des éléments de X$ a$, cette somme est bien élément de X$ a$. En refaisant ce raisonnement sur une somme du type $ \displaystyle{\sum_{1\leq i \leq n} x_i a_i}$$ x_i\in$X et $ a_i\in$A, on démontre que X$ a$ est un sous groupe de A. D'autre part si $ \alpha$ est élément de A et si $ z\displaystyle{\sum_{1\leq i \leq n} x_i a_i}$ est élément de X$ a$, alors $ \alpha$z= $ \displaystyle{\sum_{1\leq i \leq n} x_i (\alpha a_i)}$ qui est encore élément de X$ a$. X$ a$ est bien un idéal de A.
  2. XA est clairement un idéal et si un idéal contient X, il contient nécessairement XA. XA est donc le plus petit idéal contenant X. De plus si X est un idéal, alors, A étant unitaire, X est contenu dans XA. Comme XA est le plus petit idéal contenant A, XA=X. Réciproquement si X=XA alors XA étant un idéal de A, il en est de même de X.
  3. Soit B un anneau commutatif unitaire. Soit $ f$:A $ \longrightarrow$B un morphisme d'anneaux. Soit aussi $ b$ un idéal de B. Utilisons le critère que l'on vient de montrer pour prouver que $ f^{-1}(b)$ est un idéal de A. Il faut dont montrer que $ f^{-1}(b)$A=$ f^{-1}(b)$. Mais $ f(f^{-1}(b))$=$ bf$(A)=$ b$ car $ b$ est un idéal de B. $ f^{-1}(b)$ est bien un idéal de A. De plus, si $ f$ est surjective et si $ a$ est un idéal de A, $ f(a)$=$ f(aA)$=$ f(a)f(A)$=$ f(a)$B donc $ f(a)$=$ f(a)$B
Proposition Soient A un anneau commutatif unitaire , S une partie multiplicative de A, $ a$ un idéal de A et i l'homomorphisme canonique de A dans S$ ^{-1}$A.
Alors :

$\displaystyle i(a)S^{-1}A=\lbrace \frac{x}{s};x\in a;  s\in S \rbrace.$

D'autre part, si $ b$ est un idéal de S$ ^{-1}$A , alors:

$\displaystyle {b}=i(i^{-1}({b}))S^{-1}A.$

$  $

next up previous
monter: Quelques Thèmes sur les précédent: Anneau des fractions d'un
S_Rouzes_pour_les-mathematiques
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page