Produit de sous parties d'un anneau

Proposition Soit A un anneau commutatif et unitaire , soient X et Y deux parties non vides de A, et

un idéal de A.
Par définition, XY est l'ensemble des éléments z de A du type :

$\displaystyle z=\displaystyle{\sum_{1\leq i \leq n} x_i y_i}$

où n est un entier naturel non nul, et où pour tout i $\in \lbrace 1,...,n \rbrace$ x $_i \in$ X et y $_i \in$ Y.
Alors :

X est un idéal.
En particulier, XA est le plus petit idéal de A contenant X ; de plus, X est un idéal si et seulement si X=XA . XA est appelé idéal engendré par X.
Soit B un anneau commutatif unitaire et f un homomorphisme d'anneaux de A dans B. Soit un idéal de B ; alors f $^{-1}(b)$ est un idéal de A. Si de plus f est surjective, alors f()=f()B et par suite f() est un idéal de B.

Démonstration

Montrons que si X est une partie de A et si est un idéal de A alors X est un idéal de A. Il suffit pour cela de remarquer que si x,x' $\in$ X et si a,a' $\in$ A alors xa-xa'=xa+x(-a'). Comme a' est élément de a, il en est de même de -a'. Compte tenu de l'écriture des éléments de X, cette somme est bien élément de X. En refaisant ce raisonnement sur une somme du type $\displaystyle{\sum_{1\leq i \leq n} x_i a_i}$ où $x_i\in$ X et $a_i\in$ A, on démontre que X est un sous groupe de A. D'autre part si $\alpha$ est élément de A et si $z\displaystyle{\sum_{1\leq i \leq n} x_i a_i}$ est élément de X, alors $\alpha$ z= $\displaystyle{\sum_{1\leq i \leq n} x_i (\alpha a_i)}$ qui est encore élément de X. X est bien un idéal de A.
XA est clairement un idéal et si un idéal contient X, il contient nécessairement XA. XA est donc le plus petit idéal contenant X. De plus si X est un idéal, alors, A étant unitaire, X est contenu dans XA. Comme XA est le plus petit idéal contenant A, XA=X. Réciproquement si X=XA alors XA étant un idéal de A, il en est de même de X.
Soit B un anneau commutatif unitaire. Soit :A $\longrightarrow$ B un morphisme d'anneaux. Soit aussi un idéal de B. Utilisons le critère que l'on vient de montrer pour prouver que $f^{-1}(b)$ est un idéal de A. Il faut dont montrer que $f^{-1}(b)$ A= $f^{-1}(b)$ . Mais $f(f^{-1}(b))$ =(A)= car est un idéal de B. $f^{-1}(b)$ est bien un idéal de A. De plus, si est surjective et si est un idéal de A, ===B donc =B