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Racines de l'unité

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Racines de l'unité

Notons C le cercle trigonométrique, i.e.

$\begin{displaymath}C = {\left\{ {z \in \mathbb{C} / {\left\vert ... ...a} ; \theta \in \left[ {0 ; 2\pi} \right[} \right\}}.\end{displaymath}$

Pour tout entier $n \ge 1$ , on note $R_{n}$ l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité, à savoir

$\begin{displaymath}R_{n} = {\left\{ {z \in \text{{\rm ${\mathbb C}$ }} / z^{n} = 1} \right\}}.\end{displaymath}$

Bien sûr, $R_{n} \subset C$ et

$\begin{displaymath}R_{n} = {\left\{ {e^{i{\frac{{2k\pi}} {{n}}}} ; k \in {\left\{ {1, \cdots ,n} \right\}}} \right\}}.\end{displaymath}$

Ainsi, $card\left( {R_{n}} \right) = n$ . Rappelons que

a une structure de groupe multiplicatif

Définition On appelle ensemble des racines entières de l'unité l'ensemble $R = {\bigcup\limits_{n \ge 1} {R_{n}}}$ où désigne l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité.

Proposition A toute racine entière de l'unité z, on peut associer l'idéal des entiers i tels que $z^{i} = 1$ ; cet idéal est non nul et son unique générateur strictement positif est le rang de z, noté ici $\rho \left( {z} \right)$ .

Ainsi on a : $z \in R_{n} \Leftrightarrow \rho \left( {z} \right) {\left\vert { n} \right.}$ .

Démonstration Soit une racine entière de l'unité. Il existe $n\in$ ${\mathbb N}$ tel que . Par conséquent, l'ensemble $\cal I$ des entiers i tels que $z^{i} = 1$ est non vide. On vérifie facilement que c'est un idéal de ${\mathbb Z}$ . Ce dernier étant principal, $\cal I$ est aussi principal et donc monogène. Ceci permet d'être assuré que $\rho \left( {z} \right)$ est bien défini.

Rappelons aussi que, par définition, un élément de est une racine primitive d $^{\text{ièmes}}$ de l'unité si et seulement si c'est un générateur de . Enonçons la propriété:

Proposition Soit $d \ge 1$ un entier. Soit désigne l'ensemble des racines primitives d $^{\text{ièmes}}$ de l'unité. Soit z une racine entière de l'unité et soit $\rho(z)$ son rang alors:

$\begin{displaymath}F_{d} = {\left\{ {z \in R / \rho \left( {z} \right) = d} \right\}}.\end{displaymath}$

On a, plus précisément,

$\begin{displaymath}F_{d} = {\left\{ {e^{i{\frac{{2k\pi }}{{d}}}} ; k \in ... ...\{ {1, \cdots ,d} \right\}} et k \wedge d = 1} \right\}}\end{displaymath}$

où $k \wedge d$ désigne le pgcd de k et d

Démonstration

Démontrons l'inclusion de dans ${\left\{ {z \in R / \rho \left( {z} \right) = d} \right\}}.$ Soit $z\in F_d$ . est donc un générateur de . Rappelons que est un groupe cyclique à d éléments. Par conséquent, pour tout élément $z'\neq 1$ de , il existe $0 \leq i < d$ tel que et . On a ainsi montré que $\rho(z)=1$ et donc l'inclusion demandée. Démontrons l'inclusion réciproque. Soit z une racine entière de l'unité de rang d. Le sous groupe de engendré par est un sous groupe cyclique de d'ordre d. Ce sous groupe contient alors toutes les racines du polynômes car pour chaque élément de ce sous groupe, . Ce sous groupe est par conséquent le groupe des racines d-ième de l'unité et est bien un générateur de ce groupe.
Montrons la seconde égalité. Soit un élément de . est une racine entière de l'unité, donc il existe et $n\in$ ${\mathbb N}$ tels que $z=e^{i{\frac{2k\pi}{n}}}$ . Comme , n est un diviseur de d. En particulier n $\leq$ d. Mais donc n est élément de l'idéal engendré par d et donc $n \geq d$ . En conclusion et $z=e^{i{\frac{2k\pi}{d}}}$ . Montrons maintenant que $k \wedge d$ =1. Si ce n'est pas le cas alors il existe un élément p de ${\mathbb N}$ tel que d=k.p et p<d. Mais , et le rang de ne peut être d. Ceci est contraire à nos hypothèses. Donc forcément $k \wedge d=1$ . Pour démontrer l'inclusion réciproque, choisissons un élément $z=e^{i{\frac{2k\pi}{d}}}$ tel que $k\in\{1,...,d\}$ et tel que $k \wedge d=1$ . Montron que le rang m de cette racine entière de l'unité est égal à d. Il est évident que m est au plus égal à d. Supposons que m<d. Alors implique $e^{i{\frac{2k.m\pi}{d}}}=1$ . Donc d divise k.m, mais comme d est premier avec k, en vertu du lemme de Gauss, d divise m ce qui est contraire au choix fait pour m. Donc d=m et z est de rang d. Par conséquent, comme les éléments de rang d sont les racines primitives d-ièmes de l'unité, l'inclusion réciproque est prouvée.