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Racines de l'unité

Notons C le cercle trigonométrique, i.e.

\begin{displaymath}C = {\left\{ {z \in \mathbb{C}     /     {\left\vert ...
...a}   ;  \theta \in \left[ {0 ; 2\pi} \right[}
\right\}}.\end{displaymath}

Pour tout entier $n \ge 1$, on note $R_{n} $ l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité, à savoir

\begin{displaymath}R_{n} = {\left\{ {z \in \text{{\rm ${\mathbb C}$ }}    
/     z^{n} = 1} \right\}}.\end{displaymath}

Bien sûr, $R_{n} \subset C$ et

\begin{displaymath}R_{n} =
{\left\{ {e^{i{\frac{{2k\pi}} {{n}}}}  ;  k \in {\left\{ {1, \cdots ,n}
\right\}}} \right\}}.\end{displaymath}

Ainsi, $card\left( {R_{n}} \right) = n$. Rappelons que $R_n$ a une structure de groupe multiplicatif.

Définition On appelle ensemble des racines entières de l'unité l'ensemble $R =
{\bigcup\limits_{n \ge 1} {R_{n}}} $  où $R_n$ désigne l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité.

Proposition A toute racine entière de l'unité z, on peut associer l'idéal des entiers i tels que $z^{i} = 1$ ; cet idéal est non nul et son unique générateur strictement positif est le rang de z, noté ici $\rho \left( {z} \right)$.

Ainsi on a : $z \in R_{n}     \Leftrightarrow    \rho \left( {z}
\right) {\left\vert { n} \right.}$.

Démonstration Soit $z$ une racine entière de l'unité. Il existe $n\in$${\mathbb N}$tel que $z^n=1$ . Par conséquent, l'ensemble $\cal I$ des entiers i tels que $z^{i} = 1$ est non vide. On vérifie facilement que c'est un idéal de ${\mathbb Z}$. Ce dernier étant principal, $\cal I$ est aussi principal et donc monogène. Ceci permet d'être assuré que $\rho \left( {z} \right)$ est bien défini.

Rappelons aussi que, par définition, un élément de $R$ est une racine primitive d $^{\text{ièmes}}$ de l'unité si et seulement si c'est un générateur de $R_d$. Enonçons la propriété:

Proposition Soit $d \ge 1$ un entier. Soit $F_d$ désigne l'ensemble des racines primitives d $^{\text{ièmes}}$ de l'unité. Soit z une racine entière de l'unité et soit $\rho(z)$ son rang alors:

\begin{displaymath}F_{d} = {\left\{ {z \in R     /
    \rho \left( {z} \right) = d} \right\}}.\end{displaymath}

On a, plus précisément,

\begin{displaymath}F_{d} = {\left\{ {e^{i{\frac{{2k\pi
}}{{d}}}}  ;  k \in ...
...\{ {1, \cdots ,d} \right\}}  et  k \wedge
d = 1} \right\}}\end{displaymath}

$k \wedge d$ désigne le pgcd de k et d.

Démonstration

  • Démontrons l'inclusion de $F_d$ dans ${\left\{ {z \in R     /
    \rho \left( {z} \right) = d} \right\}}.$ Soit $z\in F_d$. $z$ est donc un générateur de $R_d$. Rappelons que $R_d$ est un groupe cyclique à d éléments. Par conséquent, pour tout élément $z'\neq 1$ de $R_d$, il existe $0 \leq i < d$ tel que $z'=z^i$ et $z^d=1$. On a ainsi montré que $\rho(z)=1$ et donc l'inclusion demandée. Démontrons l'inclusion réciproque. Soit z une racine entière de l'unité de rang d. Le sous groupe de $R$ engendré par $z$ est un sous groupe cyclique de $R$ d'ordre d. Ce sous groupe contient alors toutes les racines du polynômes $X^d-1=0$ car pour chaque élément $z'$ de ce sous groupe, $z'^d=1$. Ce sous groupe est par conséquent le groupe des racines d-ième de l'unité et $z$ est bien un générateur de ce groupe.
  • Montrons la seconde égalité. Soit $z$ un élément de $F_d$. $z$ est une racine entière de l'unité, donc il existe $k$ et $n\in$ ${\mathbb N}$tels que $z=e^{i{\frac{2k\pi}{n}}}$. Comme $z^d=1$, n est un diviseur de d. En particulier n$\leq$d. Mais $z^n=1$ donc n est élément de l'idéal engendré par d et donc $n \geq d$. En conclusion $n=d$ et $z=e^{i{\frac{2k\pi}{d}}}$. Montrons maintenant que $k \wedge d$=1. Si ce n'est pas le cas alors il existe un élément p de ${\mathbb N}$tel que d=k.p et p<d. Mais $z^p=1$, et le rang de $z$ ne peut être d. Ceci est contraire à nos hypothèses. Donc forcément $k \wedge d=1$. Pour démontrer l'inclusion réciproque, choisissons un élément $z=e^{i{\frac{2k\pi}{d}}}$ tel que $k\in\{1,...,d\}$ et tel que $k \wedge d=1$. Montron que le rang m de cette racine entière de l'unité est égal à d. Il est évident que m est au plus égal à d. Supposons que m<d. Alors $z^m=1$ implique $e^{i{\frac{2k.m\pi}{d}}}=1$. Donc d divise k.m, mais comme d est premier avec k, en vertu du lemme de Gauss, d divise m ce qui est contraire au choix fait pour m. Donc d=m et z est de rang d. Par conséquent, comme les éléments de rang d sont les racines primitives d-ièmes de l'unité, l'inclusion réciproque est prouvée.
$ $

Définition Soit $F_d$ l'ensemble des racines primitives d $^{\text{ièmes}}$ de l'unité. Le polynôme

\begin{displaymath}\Phi _{d} \left( {X} \right) = {\prod\limits_{z \in F_{d}}
{\left( {X - z} \right)}} \end{displaymath}

est appelé d $^{\text{ièmes}}$ polynôme cyclotomique.

Etablissons maintenant quelques propriétés préalables à la démonstration du théorème de Weddenburn.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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