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Propriétés prélémininaires

Proposition (P1) Soient K un corps commutatif, $A \subset K$ un sous-anneau de K et $\Phi \in K{\left[ {X} \right]}$. S'il existe un polynôme $Q \in
A{\left[ {X} \right]}$ unitaire tel que $\Phi. Q \in A{\left[ {X} \right]}$, alors $\Phi \in A{\left[ {X} \right]}$.

Démonstration Cette propriété se démontre assez simplement par récurrence sur $d^{ \circ} \Phi $; néanmoins nous préférons une preuve plus `` élégante ''.

Notons $P = \Phi .Q \in A{\left[ {X} \right]}$. Comme $Q \in
A{\left[ {X} \right]}$ est unitaire, il existe une unique division euclidienne de P par Q dans $A{\left[ {X} \right]}$, i.e. il existe un unique couple $\left( {Q_{1}
,R_{1}} \right)$de $A{\left[ {X} \right]}^{2}$ tel que $P = Q_{1} Q + R_{1}
$ et $d^{ \circ} R_{1} < d^{ \circ} Q$.

D'autre part, K étant un corps, il existe une unique division euclidienne de P par Q dans $K{\left[ {X} \right]}$, i.e. il existe un unique couple $\left( {Q_{2} ,R_{2}} \right)$de $K{\left[ {X} \right]}^{2}$ tel que $P = Q_{2} Q + R_{2} $ et $d^{ \circ} R_{2} < d^{ \circ} Q$.

Comme $\left( {Q_{1} ,R_{1}} \right) \in A{\left[ {X} \right]}^{2}$ et que A est sous-anneau de K, on a $\left( {Q_{1} ,R_{1}} \right) \in K{\left[
{X} \right]}^{2}$ ; alors l'unicité du couple de division euclidienne de P par Q dans $K{\left[ {X} \right]}$ implique que $\left( {Q_{1} ,R_{1}}
\right) = \left( {Q_{2} ,R_{2}} \right)$.

Enfin, comme $P = \Phi. Q$, cette même unicité implique : $\left(
{Q_{2} ,R_{2}} \right) = \left( {\Phi ,0} \right)$.

On a donc $\left( {Q_{1} ,R_{1}} \right) = \left( {\Phi ,0} \right)$, donc $\Phi = Q_{1} $, i.e. $\Phi \in A{\left[ {X} \right]}$.

Proposition (P2) Soient L un corps fini, $K \subset L$ un sous-corps de L. Alors il existe $s \in IN^{ *} $ tel que $card\left( {L} \right) = \left(
{card\left( {K} \right)} \right)^{s}$.

Démonstration

L'opération de $K\times L$ dans L définie par $k * l = kl$ (le produit dans L) induit sur L une structure de K-espace vectoriel. L est fini, donc de dimension finie s, et on a bien classiquement $card\left( {L} \right) = \left(
{card\left( {K} \right)} \right)^{s}$.

Proposition (P3) Soient m et n deux entiers avec $1 \le m \le n$, $T \in$${\mathbb Z}$ $\left(
{X} \right)$ la fraction rationnelle définie par : $T\left( {X} \right)
= {\frac{{X^{n} - 1}}{{X^{m} - 1}}}$, et $\Phi _{n} $ le n-ième polynôme cyclotomique.

Alors on a:

  1. $X^{n} - 1 = {\prod\limits_{d  {\left\vert {  n} \right.}} {\Phi _{d}
\left( {X} \right)}} $ ;

  2. $\Phi _{n} \in$${\mathbb Z}$ $ {\left[ {X} \right]}$ ;

  3. $m  \left\vert   n     \Rightarrow     T \in {\mathbb Z} \left[ {X}
\right] \right.$;

  4. $m  {\left\vert {  n    et    m < n     \Rightarrow   }
\right.} \quad \Phi _{n} $ divise le polynôme T dans ${\mathbb Z}$ $ {\left[ {X} \right]}$.
$ $

Démonstration

  1. Rappelons que l'ensemble des racines primitives d $^{\text{ièmes}}$ de l'unité $F_d$ vérifie

    \begin{displaymath}F_{d} = {\left\{ {e^{i{\frac{{2k\pi
}}{{d}}}}  ;  k \in ...
...{ {1, \cdots ,d} \right\}}  et  k \wedge
d = 1} \right\}}.\end{displaymath}

    Un corollaire immédiat de cette égalité est, $\varphi $ étant la fonction indicatrice d'Euler ( $\varphi(d)=card\{k\in\{1,...,d\},k\wedge d=1\}$ ), $card\left( {F_{d}} \right) = \varphi \left( {d} \right)$.

    D'autre part, l'ensemble des définitions implique aisément que ${\left\{ {F_{d}} \right\}}_{d {\left\vert { n} \right.}}$ forme une partition de $R_{n} $ ; cela donne deux résultats intéressants :


    \begin{displaymath}card\left( {R_{n}} \right) = {\sum\limits_{d {\left\vert { n} \right.}}
{card\left( {F_{d}} \right)}} ,\end{displaymath}

    i.e.

    \begin{displaymath}n = {\sum\limits_{d {\left\vert { n}
\right.}} {\varphi \left( {d} \right)}}; \end{displaymath}

    Identité des polynômes

    \begin{displaymath}{\prod\limits_{z \in R_{n}} {\left( {X - z}
\right)}} \text{...
...}} {{\prod\limits_{z
\in F_{d}} {\left( {X - z} \right)}}} }. \end{displaymath}

     

    En notant

    \begin{displaymath}\Phi _{d} \left( {X} \right) = {\prod\limits_{z \in F_{d}}
{\left( {X - z} \right)}}, \end{displaymath}

    le d-ième polynôme cyclotomique, et en développant ${\prod\limits_{z \in R_{n}} {\left( {X
- z} \right)}} $, cette identité donne :

    \begin{displaymath}X^{n} - 1 =
{\prod\limits_{d {\left\vert { n} \right.}} {\Phi _{d} \left( {X} \right)}} .\end{displaymath}

    Ceci est le 1/ de la propriété.

  2. $\Phi _{n} \in$${\mathbb Z}$ $ {\left[ {X} \right]}$ ; montrons-le par récurrence sur n :

    Pour $n = 1$, $\Phi _{1} \left( {X} \right) = X - 1$, donc $\Phi _{1} \in
$${\mathbb Z}$ $ {\left[ {X} \right]}$ .

    Supposons démontré jusqu'à n ; on a

    \begin{displaymath}X^{n + 1} - 1 =
{\prod\limits_{d {\left\vert { n + 1} \right.}} {\Phi _{d} \left( {X} \right)}
},\end{displaymath}

    ce qui entraîne que

    \begin{displaymath}X^{n + 1} - 1 = \Phi _{n + 1} \left( {X}
\right)   \cdot \...
...
{d \le n} \\
\end{array}} {\Phi _{d} \left( {X} \right)}} .\end{displaymath}

    La récurrence s'applique aux $\Phi _{d} $ avec $d \le n$, et donc le polynôme

    \begin{displaymath}{\prod\limits_{\begin{array}{l}
{d {\left\vert { n + 1} \r...
...
{d \le n} \\
\end{array}} {\Phi _{d} \left( {X} \right)}} \end{displaymath}

    appartient à ${\mathbb Z}$ $ {\left[ {X} \right]}$. De plus il est clairement unitaire, et comme $\left( {X^{n +
1} - 1} \right) \in $${\mathbb Z}$ $ {\left[ {X} \right]}$, la propriété (P1) nous dit que $\Phi _{n + 1} \in $${\mathbb Z}$ $ {\left[ {X} \right]}$ : la récurrence est achevée.

  3. $m  {\left\vert {  n     \Rightarrow     T \in {\mathbb Z}{\left[ {X}
\right]}} \right.}$ ; montrons cela : $m  {\left\vert {  n} \right.}$, donc l'ensemble des diviseurs de n est la réunion disjointe de l'ensemble des diviseurs de m et de l'ensemble Q des diviseurs de n ne divisant pas m ; par suite, on a

    \begin{displaymath}{\prod\limits_{d {\left\vert { n} \right.}} {\Phi _{d} \lef...
...   {\prod\limits_{q \in Q} {\Phi _{q}
\left( {X} \right)}} .\end{displaymath}

    D'après 1/, cela donne

    \begin{displaymath}X^{n} - 1 = \left( {X^{m} - 1} \right)   \cdot
  {\prod\limits_{q \in Q} {\Phi _{q} \left( {X} \right)}} .\end{displaymath}

    La propriété (P1) nous dit alors que

    \begin{displaymath}\left( {{\prod\limits_{q \in Q}
{\Phi _{q} \left( {X} \right)}}} \right) \in {\mathbb Z}{\left[ {X} \right]},\end{displaymath}

    et par suite $T \in {\mathbb Z}{\left[ {X} \right]}$ (car $T = {\prod\limits_{q \in Q}{\Phi {q}}} $).

  4. $m  {\left\vert {  n} \right.}$ implique que

    \begin{displaymath}T = {\prod\limits_{q
\in Q} {\Phi _{q}}}    \in {\mathbb Z}{\left[ {X} \right]}\end{displaymath}

    (c'est le point 3/), et $m < n$ implique que $n \in Q$, et par suite,

    \begin{displaymath}T = \Phi _{n}   \cdot
 {\prod\limits_{q \in Q - {\left\{ {n} \right\}}} {\Phi _{q}}} , \end{displaymath}

    puis (P1) implique que

    \begin{displaymath}\left( {{\prod\limits_{q \in Q - {\left\{ {n} \right\}}}
{\Phi _{q}}} } \right) \in {\mathbb Z}{\left[ {X} \right]},\end{displaymath}

    et donc $\Phi _{n} $ divise le polynôme T dans ${\mathbb Z}{\left[ {X} \right]}$.
$ $

Proposition (P4) Soit G un groupe fini (non nécessairement commutatif) agissant sur un ensemble E non vide fini ; soient ${\left\{ {s_{1} , \cdots ,s_{r}}
\right\}} \subset E$ un système de représentants des orbites, et $G_{1} , \cdots ,G_{r} $ les stabilisateurs respectifs de $s_{1} , \cdots ,s_{r}
$. Alors on a :

  1. Pour tout i, $1 \le i \le r$, $card\left( {G_{i}} \right)$ divise $card\left( {G} \right)$ ;

  2. Formule des classes:

    \begin{displaymath}card\left( {E} \right) = {\sum\limits_{1 \le i \le r}
{{\frac{{card\left( {G} \right)}}{{card\left( {G_{i}} \right)}}}}} .\end{displaymath}

$ $

Démonstration

Ici aussi, rappel des faits... On dit qu'un groupe G (noté ici multiplicativement et d'élément neutre noté 1) agit sur un ensemble E (non vide) s'il existe une opération $\left( { \cdot * \cdot} \right)$ de $G\times E$ dans E telle que :


\begin{displaymath}
\forall x \in E,  1 * x = x
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\forall x \in E,  \forall \left( {g,{g}'} \right) \in G\ti...
... {g}' *
\left( {g * x} \right) = \left( {{g}'g} \right) * x.
\end{displaymath}

On note alors, pour tout x de E :

  • $G * x = {\left\{ {g * x} \right\}}_{g \in G} ,$ sous-ensemble de E appelé orbite de x .

  • $G_{x} = {\left\{ {g \in G   /   g * x = x} \right\}}_{g \in G}
,$ sous-ensemble de G appelé stabilisateur de x .

  • $s_{x} $ l'application de G dans $G * x$ qui à $g \in G$ associe $g * x$.

$G_{x} $ est un sous-groupe de G; d'autre part, on constate que la relation d'équivalence factorisant l'application $s_{x} $ coïncide avec la relation de quotient ${\frac{{G}}{{G_{x}}} }$ ; comme il est clair que $s_{x} $ est surjective, on en déduit que les ensembles ${\frac{{G}}{{G_{x}}} }$ et $G * x$ sont équipotents.

Enfin, il est aisé de vérifier que l'ensemble des orbites, ${\left\{
{G * x} \right\}}_{x \in E} $, forme une partition de E.

Dans le cas où E et G sont finis, tout cela implique la formule des classes : en effet, soient $G * x_{1} , \cdots ,G * x_{r} $ les orbites, alors elles forment une partition de E, donc

\begin{displaymath}card\left( {E} \right) =
{\sum\limits_{1 \le i \le r} {card\left( {G * x_{i}} \right)}}. \end{displaymath}

Comme $G
* x_{i} $ est équipotent à ${\frac{{G}}{{G_{x_{i}}} } }$, cela donne

\begin{displaymath}card\left( {E} \right) = {\sum\limits_{1 \le i \le r} {card\left(
{{\frac{{G}}{{G_{x_{i}}} } }} \right)}} \end{displaymath}

La démonstration s'achève en remarquant que

\begin{displaymath}card\left( {{\frac{{G}}{{G_{x_{i}}} } }}
\right) = {\frac{{card\left( {G} \right)}}{{card\left( {G_{x_{i}}}
\right)}}}.\end{displaymath}


Nous pouvons passer désormais à la démonstration du théorème.


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