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Propriétés prélémininaires

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Propriétés prélémininaires

Proposition (P1) Soient K un corps commutatif, $A \subset K$ un sous-anneau de K et $\Phi \in K{\left[ {X} \right]}$ . S'il existe un polynôme $Q \in A{\left[ {X} \right]}$ unitaire tel que $\Phi. Q \in A{\left[ {X} \right]}$ , alors $\Phi \in A{\left[ {X} \right]}$ .

Démonstration Cette propriété se démontre assez simplement par récurrence sur $d^{ \circ} \Phi$ ; néanmoins nous préférons une preuve plus `` élégante ''.

Notons $P = \Phi .Q \in A{\left[ {X} \right]}$ . Comme $Q \in A{\left[ {X} \right]}$ est unitaire, il existe une unique division euclidienne de P par Q dans $A{\left[ {X} \right]}$ , i.e. il existe un unique couple $\left( {Q_{1} ,R_{1}} \right)$ de $A{\left[ {X} \right]}^{2}$ tel que $P = Q_{1} Q + R_{1}$ et $d^{ \circ} R_{1} < d^{ \circ} Q$ .

D'autre part, K étant un corps, il existe une unique division euclidienne de P par Q dans $K{\left[ {X} \right]}$ , i.e. il existe un unique couple $\left( {Q_{2} ,R_{2}} \right)$ de $K{\left[ {X} \right]}^{2}$ tel que $P = Q_{2} Q + R_{2}$ et $d^{ \circ} R_{2} < d^{ \circ} Q$ .

Comme $\left( {Q_{1} ,R_{1}} \right) \in A{\left[ {X} \right]}^{2}$ et que A est sous-anneau de K, on a $\left( {Q_{1} ,R_{1}} \right) \in K{\left[ {X} \right]}^{2}$ ; alors l'unicité du couple de division euclidienne de P par Q dans $K{\left[ {X} \right]}$ implique que $\left( {Q_{1} ,R_{1}} \right) = \left( {Q_{2} ,R_{2}} \right)$ .

Enfin, comme $P = \Phi. Q$ , cette même unicité implique : $\left( {Q_{2} ,R_{2}} \right) = \left( {\Phi ,0} \right)$ .

On a donc $\left( {Q_{1} ,R_{1}} \right) = \left( {\Phi ,0} \right)$ , donc $\Phi = Q_{1}$ , i.e. $\Phi \in A{\left[ {X} \right]}$ .

Proposition (P2) Soient L un corps fini, $K \subset L$ un sous-corps de L. Alors il existe $s \in IN^{ *}$ tel que $card\left( {L} \right) = \left( {card\left( {K} \right)} \right)^{s}$ .

Démonstration

L'opération de $K\times L$ dans L définie par (le produit dans L) induit sur L une structure de K-espace vectoriel. L est fini, donc de dimension finie s, et on a bien classiquement $card\left( {L} \right) = \left( {card\left( {K} \right)} \right)^{s}$ .

Proposition (P3) Soient m et n deux entiers avec $1 \le m \le n$ , $T \in$ ${\mathbb Z}$ $\left( {X} \right)$ la fraction rationnelle définie par : $T\left( {X} \right) = {\frac{{X^{n} - 1}}{{X^{m} - 1}}}$ , et $\Phi _{n}$ le n-ième polynôme cyclotomique.

Alors on a:

$X^{n} - 1 = {\prod\limits_{d {\left\vert { n} \right.}} {\Phi _{d} \left( {X} \right)}}$ ;
$\Phi _{n} \in$ ${\mathbb Z}$ ${\left[ {X} \right]}$ ;
$m \left\vert n \Rightarrow T \in {\mathbb Z} \left[ {X} \right] \right.$ ;
$m {\left\vert { n et m < n \Rightarrow } \right.} \quad \Phi _{n}$ divise le polynôme T dans ${\mathbb Z}$ ${\left[ {X} \right]}$ .

Démonstration

Rappelons que l'ensemble des racines primitives d $^{\text{ièmes}}$ de l'unité vérifie

$\begin{displaymath}F_{d} = {\left\{ {e^{i{\frac{{2k\pi }}{{d}}}} ; k \in ... ...{ {1, \cdots ,d} \right\}} et k \wedge d = 1} \right\}}.\end{displaymath}$

Un corollaire immédiat de cette égalité est, $\varphi$ étant la fonction indicatrice d'Euler ( $\varphi(d)=card\{k\in\{1,...,d\},k\wedge d=1\}$ ), $card\left( {F_{d}} \right) = \varphi \left( {d} \right)$ .
D'autre part, l'ensemble des définitions implique aisément que ${\left\{ {F_{d}} \right\}}_{d {\left\vert { n} \right.}}$ forme une partition de $R_{n}$ ; cela donne deux résultats intéressants :

$\begin{displaymath}card\left( {R_{n}} \right) = {\sum\limits_{d {\left\vert { n} \right.}} {card\left( {F_{d}} \right)}} ,\end{displaymath}$

i.e.

$\begin{displaymath}n = {\sum\limits_{d {\left\vert { n} \right.}} {\varphi \left( {d} \right)}}; \end{displaymath}$

Identité des polynômes

$\begin{displaymath}{\prod\limits_{z \in R_{n}} {\left( {X - z} \right)}} \text{... ...}} {{\prod\limits_{z \in F_{d}} {\left( {X - z} \right)}}} }. \end{displaymath}$

En notant

$\begin{displaymath}\Phi _{d} \left( {X} \right) = {\prod\limits_{z \in F_{d}} {\left( {X - z} \right)}}, \end{displaymath}$

le d-ième polynôme cyclotomique, et en développant ${\prod\limits_{z \in R_{n}} {\left( {X - z} \right)}}$ , cette identité donne :

$\begin{displaymath}X^{n} - 1 = {\prod\limits_{d {\left\vert { n} \right.}} {\Phi _{d} \left( {X} \right)}} .\end{displaymath}$

Ceci est le 1/ de la propriété.
$\Phi _{n} \in$ ${\mathbb Z}$ ${\left[ {X} \right]}$ ; montrons-le par récurrence sur n :
Pour , $\Phi _{1} \left( {X} \right) = X - 1$ , donc $\Phi _{1} \in$ ${\mathbb Z}$ ${\left[ {X} \right]}$ .
Supposons démontré jusqu'à n ; on a

$\begin{displaymath}X^{n + 1} - 1 = {\prod\limits_{d {\left\vert { n + 1} \right.}} {\Phi _{d} \left( {X} \right)} },\end{displaymath}$

ce qui entraîne que

$\begin{displaymath}X^{n + 1} - 1 = \Phi _{n + 1} \left( {X} \right) \cdot \... ... {d \le n} \\ \end{array}} {\Phi _{d} \left( {X} \right)}} .\end{displaymath}$

La récurrence s'applique aux $\Phi _{d}$ avec $d \le n$ , et donc le polynôme

$\begin{displaymath}{\prod\limits_{\begin{array}{l} {d {\left\vert { n + 1} \r... ... {d \le n} \\ \end{array}} {\Phi _{d} \left( {X} \right)}} \end{displaymath}$

appartient à ${\mathbb Z}$ ${\left[ {X} \right]}$ . De plus il est clairement unitaire, et comme $\left( {X^{n + 1} - 1} \right) \in$ ${\mathbb Z}$ ${\left[ {X} \right]}$ , la propriété (P1) nous dit que $\Phi _{n + 1} \in$ ${\mathbb Z}$ ${\left[ {X} \right]}$ : la récurrence est achevée.
$m {\left\vert { n \Rightarrow T \in {\mathbb Z}{\left[ {X} \right]}} \right.}$ ; montrons cela : $m {\left\vert { n} \right.}$ , donc l'ensemble des diviseurs de n est la réunion disjointe de l'ensemble des diviseurs de m et de l'ensemble Q des diviseurs de n ne divisant pas m ; par suite, on a

$\begin{displaymath}{\prod\limits_{d {\left\vert { n} \right.}} {\Phi _{d} \lef... ... {\prod\limits_{q \in Q} {\Phi _{q} \left( {X} \right)}} .\end{displaymath}$

D'après 1/, cela donne

$\begin{displaymath}X^{n} - 1 = \left( {X^{m} - 1} \right) \cdot {\prod\limits_{q \in Q} {\Phi _{q} \left( {X} \right)}} .\end{displaymath}$

La propriété (P1) nous dit alors que

$\begin{displaymath}\left( {{\prod\limits_{q \in Q} {\Phi _{q} \left( {X} \right)}}} \right) \in {\mathbb Z}{\left[ {X} \right]},\end{displaymath}$

et par suite $T \in {\mathbb Z}{\left[ {X} \right]}$ (car $T = {\prod\limits_{q \in Q}{\Phi {q}}}$ ).
$m {\left\vert { n} \right.}$ implique que

$\begin{displaymath}T = {\prod\limits_{q \in Q} {\Phi _{q}}} \in {\mathbb Z}{\left[ {X} \right]}\end{displaymath}$

(c'est le point 3/), et implique que $n \in Q$ , et par suite,

$\begin{displaymath}T = \Phi _{n} \cdot {\prod\limits_{q \in Q - {\left\{ {n} \right\}}} {\Phi _{q}}} , \end{displaymath}$

puis (P1) implique que

$\begin{displaymath}\left( {{\prod\limits_{q \in Q - {\left\{ {n} \right\}}} {\Phi _{q}}} } \right) \in {\mathbb Z}{\left[ {X} \right]},\end{displaymath}$

et donc $\Phi _{n}$ divise le polynôme T dans ${\mathbb Z}{\left[ {X} \right]}$ .

Proposition (P4) Soit G un groupe fini (non nécessairement commutatif) agissant sur un ensemble E non vide fini ; soient ${\left\{ {s_{1} , \cdots ,s_{r}} \right\}} \subset E$ un système de représentants des orbites, et $G_{1} , \cdots ,G_{r}$ les stabilisateurs respectifs de $s_{1} , \cdots ,s_{r}$ . Alors on a :

Pour tout i, $1 \le i \le r$ , $card\left( {G_{i}} \right)$ divise $card\left( {G} \right)$ ;
Formule des classes:

$\begin{displaymath}card\left( {E} \right) = {\sum\limits_{1 \le i \le r} {{\frac{{card\left( {G} \right)}}{{card\left( {G_{i}} \right)}}}}} .\end{displaymath}$

Démonstration

Ici aussi, rappel des faits... On dit qu'un groupe G (noté ici multiplicativement et d'élément neutre noté 1) agit sur un ensemble E (non vide) s'il existe une opération $\left( { \cdot * \cdot} \right)$ de $G\times E$ dans E telle que :

$\begin{displaymath} \forall x \in E, 1 * x = x \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \forall x \in E, \forall \left( {g,{g}'} \right) \in G\ti... ... {g}' * \left( {g * x} \right) = \left( {{g}'g} \right) * x. \end{displaymath}$

On note alors, pour tout x de E :

$G * x = {\left\{ {g * x} \right\}}_{g \in G} ,$ sous-ensemble de E appelé orbite de x .
$G_{x} = {\left\{ {g \in G / g * x = x} \right\}}_{g \in G} ,$ sous-ensemble de G appelé stabilisateur de x .
$s_{x}$ l'application de G dans qui à $g \in G$ associe .

$G_{x}$ est un sous-groupe de G; d'autre part, on constate que la relation d'équivalence factorisant l'application $s_{x}$ coïncide avec la relation de quotient ${\frac{{G}}{{G_{x}}} }$ ; comme il est clair que $s_{x}$ est surjective, on en déduit que les ensembles ${\frac{{G}}{{G_{x}}} }$ et sont équipotents.

Enfin, il est aisé de vérifier que l'ensemble des orbites, ${\left\{ {G * x} \right\}}_{x \in E}$ , forme une partition de E.

Dans le cas où E et G sont finis, tout cela implique la formule des classes : en effet, soient $G * x_{1} , \cdots ,G * x_{r}$ les orbites, alors elles forment une partition de E, donc

$\begin{displaymath}card\left( {E} \right) = {\sum\limits_{1 \le i \le r} {card\left( {G * x_{i}} \right)}}. \end{displaymath}$

Comme $G * x_{i}$ est équipotent à ${\frac{{G}}{{G_{x_{i}}} } }$ , cela donne

$\begin{displaymath}card\left( {E} \right) = {\sum\limits_{1 \le i \le r} {card\left( {{\frac{{G}}{{G_{x_{i}}} } }} \right)}} \end{displaymath}$

La démonstration s'achève en remarquant que

$\begin{displaymath}card\left( {{\frac{{G}}{{G_{x_{i}}} } }} \right) = {\frac{{card\left( {G} \right)}}{{card\left( {G_{x_{i}}} \right)}}}.\end{displaymath}$