Proposition (P1) Soient K un corps commutatif, un sous-anneau de K et
. S'il existe un polynôme
unitaire tel que
,
alors
.
Démonstration Cette propriété se
démontre assez simplement par récurrence sur
;
néanmoins nous préférons une preuve plus `` élégante ''.
Notons
. Comme
est unitaire, il existe une unique division euclidienne de P par Q
dans
, i.e. il existe un unique couple
de
tel que
et
.
D'autre part, K étant un corps, il existe une unique division
euclidienne de P par Q dans
, i.e. il existe un
unique couple
de
tel que
et
.
Comme
et que
A est sous-anneau de K, on a
; alors l'unicité du couple de division euclidienne de
P par Q dans
implique que
.
Enfin, comme , cette même unicité implique :
.
On a donc
, donc
, i.e.
.
Proposition (P2) Soient L un corps fini, un sous-corps de L. Alors il existe tel que
.
Démonstration
L'opération de dans L définie par (le
produit dans L) induit sur L une structure de K-espace vectoriel. L est
fini, donc de dimension finie s, et on a bien classiquement
.
Proposition (P3) Soient m et n deux entiers avec , la fraction rationnelle définie par :
, et le n-ième
polynôme cyclotomique.
Alors on a:
;
;
;
divise le polynôme T dans .
Démonstration
Rappelons que l'ensemble des racines primitives d
de l'unité vérifie
Un corollaire immédiat de cette égalité est, étant la fonction indicatrice d'Euler (
),
.
D'autre part, l'ensemble des définitions implique aisément que
forme une
partition de ; cela donne deux résultats intéressants :
i.e.
Identité des polynômes
En notant
le d-ième polynôme
cyclotomique, et en développant
, cette identité donne :
Ceci est le 1/ de la propriété.
; montrons-le par
récurrence sur n :
Pour ,
, donc .
Supposons démontré jusqu'à n ; on a
ce qui entraîne que
La récurrence s'applique aux avec , et donc le
polynôme
appartient à . De plus il est clairement unitaire, et comme
, la propriété (P1) nous
dit que
: la récurrence est
achevée.
; montrons cela :
, donc
l'ensemble des diviseurs de n est la réunion disjointe de l'ensemble des
diviseurs de m et de l'ensemble Q des diviseurs de n ne divisant pas m ; par
suite, on a
D'après 1/, cela donne
La
propriété (P1) nous dit alors que
et par suite
(car
).
implique que
(c'est le point 3/),
et implique que , et par suite,
puis
(P1) implique que
et donc
divise le polynôme T dans
.
Proposition (P4) Soit G un groupe fini (non nécessairement commutatif) agissant
sur un ensemble E non vide fini ; soient
un système de représentants des orbites, et
les stabilisateurs respectifs de
. Alors on a :
Pour tout i, ,
divise
;
Formule des classes:
Démonstration
Ici aussi, rappel des faits...
On dit qu'un groupe G (noté ici multiplicativement et d'élément
neutre noté 1) agit sur un ensemble E (non vide) s'il existe une
opération
de dans E telle
que :
On note alors, pour tout x de E :
sous-ensemble de E appelé
orbite de x .
sous-ensemble de G appelé stabilisateur de x .
l'application de G dans qui à associe .
est un sous-groupe de G; d'autre part, on constate que la
relation d'équivalence factorisant l'application coïncide
avec la relation de quotient ; comme il est clair
que est surjective, on en déduit que les ensembles
et sont équipotents.
Enfin, il est aisé de vérifier que l'ensemble des orbites,
, forme une partition de E.
Dans le cas où E et G sont finis, tout cela implique la formule des
classes : en effet, soient
les orbites,
alors elles forment une partition de E, donc
Comme est équipotent à
, cela donne
La démonstration
s'achève en remarquant que
Nous pouvons passer désormais à la démonstration du
théorème.