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Opération d'un groupe $ G$ sur lui-même par translation à gauche

On associe à tout élément $ g$ de $ G$ la fonction qui à $ x\in G$ associe $ g.x$.

Cette opération est transitive (il y a une seule orbite) et fidèle.

Théorème [Théorème de Cayley] Si $ G$ est fini, alors $ G$ est isomorphe à un sous-groupe du groupe des permutations de $ G$. Démonstration: L'application qui à $ g$ associe l'application $ x \mapsto g.x$ est un homomorphisme injectif; donc $ G$ est isomorphe à son image par cette application, qui est donc un sous-groupe du groupe des permutations de $ G$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Pour "fixer les idées", on peut se représenter $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ isomorphe à l'ensemble des applications qui à $ \overline x$ associe $ \overline x+\overline p$.



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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