Opération d'un groupe sur lui-même par translation à gauche

On associe à tout élément de la fonction qui à associe .

Cette opération est transitive (il y a une seule orbite) et fidèle.

Théorème [Théorème de Cayley] Si est fini, alors est isomorphe à un sous-groupe du groupe des permutations de . Démonstration: L'application qui à associe l'application est un homomorphisme injectif; donc est isomorphe à son image par cette application, qui est donc un sous-groupe du groupe des permutations de .

Pour "fixer les idées", on peut se représenter isomorphe à l'ensemble des applications qui à associe .