Opération d'un groupe sur lui-même par automorphismes intérieurs

Définition [Action par automorphismes intérieurs] A on associe l'automorphisme intérieur .

Proposition Les orbites sont exactement les classes d'équivalence pour la relation de conjugaison. Le stabilisateur d'un élément est l'ensemble des tels que , c'est à dire ; c'est donc l'ensemble des éléments qui commutent avec , on l'appelle centralisateur de . On généralise cette définition en l'élargissant aux parties de ; le centralisateur d'une partie est l'ensemble des éléments qui commutent avec tous les éléments de cette partie.
Le centralisateur de tout entier est donc le centre de , c'est à dire l'ensemble des éléments qui commutent avec tous les autres.
Les éléments d'une classe de conjugaison ont même ordre et même nombre de points fixes.
On peut par exemple considérer le groupe ; les classes de conjugaison, c'est à dire les orbites, sont alors les classes d'équivalence pour la relation "être semblable à".