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Opération d'un groupe sur lui-même par automorphismes intérieurs

Définition [Action par automorphismes intérieurs] A $ g \in G$ on associe l'automorphisme intérieur $ x\mapsto g.x.g^{-1}$.

Proposition $ \bullet $Les orbites sont exactement les classes d'équivalence pour la relation de conjugaison. $ \bullet $Le stabilisateur d'un élément $ x$ est l'ensemble des $ g$ tels que $ x=g.x.g^{-1}$, c'est à dire $ x.g=g.x$; c'est donc l'ensemble des éléments qui commutent avec $ x$, on l'appelle centralisateur de $ x$. On généralise cette définition en l'élargissant aux parties de $ G$; le centralisateur d'une partie est l'ensemble des éléments qui commutent avec tous les éléments de cette partie.
$ \bullet $Le centralisateur de $ G$ tout entier est donc le centre de $ G$, c'est à dire l'ensemble des éléments qui commutent avec tous les autres.
$ \bullet $Les éléments d'une classe de conjugaison ont même ordre et même nombre de points fixes.
On peut par exemple considérer le groupe $ GL(n,\mathbb{K})$; les classes de conjugaison, c'est à dire les orbites, sont alors les classes d'équivalence pour la relation "être semblable à".


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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