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Groupe linéaire et groupe spécial linéaire

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Groupe linéaire et groupe spécial linéaire

Définition Etant donné $\mathbb{K}$ un corps commutatif

quelconque et

un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie, on appelle groupe linéaire le groupe des automorphismes de

est isomorphe à $GL(n,\mathbb{K})$ , groupe des matrices inversibles de taille $n \times n$ , à coefficients dans $\mathbb{K}$ , avec la dimension de .

On notera que deux matrices semblables et vérifient qu'il existe tel que $A=P^{-1}.B.P$ ; cela revient donc à dire que et sont conjuguées.

Définition Le noyau de l'homomorphisme qui à associe son déterminant est par définition l'ensemble des automorphismes de déterminant ; on l'appelle groupe spécial linéaire et on le note .

est isomorphe à $SL(n,\mathbb{K})$ , groupe des matrices de $GL(n,\mathbb{K})$ de déterminant .

Proposition On a une suite exacte:

$\displaystyle {\atop 1 \rightarrow SL(E) \rightarrow GL(E)}{\mbox{dét}\atop\rightarrow}{\atop\mathbb{K}^*\rightarrow 1}$

En outre, le groupe linéaire

est isomorphe au produit semi-direct du groupe spécial linéaire

par $\mathbb{K}^*$ .

$\mathbb{K}^*$ désignant $\mathbb{K}-\{0\}$ .
Démonstration: Il suffit de prendre pour injection de dans la simple identité, et de considérer le sous-groupe de des matrices de la forme

$\displaystyle \left( \begin{array}{cccccc}{\lambda}& 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0... ...\ 0 & 0 & \ddots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right)$

avec ${\lambda}$ non nul.

Le déterminant induit bien une bijection de sur $\mathbb{K}^*$ , on a bien $H \cap SL(E)$ réduit à l'élément neutre, on a bien , et est clairement distingué. $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition [Générateurs de et ]

$\bullet$ est engendré par l'ensemble des dilatations de .

$\bullet$ est engendré par l'ensemble des transvections de .

Démonstration: Je ne détaillerai pas intégralement la preuve, laborieuse, mais peu difficile. Il suffit de montrer les points suivants, dans cet ordre:

$\bullet$ Toute matrice de la forme $I+{\lambda}E_{i,j}$ pour $i\neq j$ , avec ${\lambda}\in \mathbb{K}$ et $E_{i,j}$ la matrice définie par $(E_{i,j})_{k,l}=1$ si et et 0 sinon, est la matrice d'une transvection. L'inverse d'une matrice de transvection, est une matrice de transvection.

$\bullet$ Une matrice de déterminant est égale à un produit de matrices de transvections. Pour le prouver, on considère une telle matrice, on la multiplie par des matrices de transvection pour se ramener à une matrice n'ayant qu'un seul élément non nul sur la première ligne, pour que cet élément soit l'élément en haut à gauche, et pour qu'il soit égal à . Il suffit alors de procéder par récurrence en considérant un produit de matrices par bloc.