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Groupe linéaire et groupe spécial linéaire

Définition Etant donné $ \mathbb{K}$ un corps commutatif quelconque et $ E$ un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, on appelle groupe linéaire $ GL(E)$ le groupe des automorphismes de $ E$.

$ GL(E)$ est isomorphe à $ GL(n,\mathbb{K})$, groupe des matrices inversibles de taille $ n \times n$, à coefficients dans $ \mathbb{K}$, avec $ n$ la dimension de $ E$.

On notera que deux matrices semblables $ A$ et $ B$ vérifient qu'il existe $ P$ tel que $ A=P^{-1}.B.P$; cela revient donc à dire que $ A$ et $ B$ sont conjuguées.

Définition Le noyau de l'homomorphisme qui à $ f$ associe son déterminant est par définition l'ensemble des automorphismes de déterminant $ 1$; on l'appelle groupe spécial linéaire et on le note $ SL(E)$.

$ SL(E)$ est isomorphe à $ SL(n,\mathbb{K})$, groupe des matrices de $ GL(n,\mathbb{K})$ de déterminant $ 1$.

Proposition On a une suite exacte:

$\displaystyle {\atop 1 \rightarrow SL(E) \rightarrow GL(E)}{\mbox{dét}\atop\rightarrow}{\atop\mathbb{K}^*\rightarrow 1}$

En outre, le groupe linéaire $ GL(E)$ est isomorphe au produit semi-direct du groupe spécial linéaire $ SL(E)$ par $ \mathbb{K}^*$.

$ \mathbb{K}^*$ désignant $ \mathbb{K}-\{0\}$.
Démonstration: Il suffit de prendre pour injection de $ SL(E)$ dans $ GL(E)$ la simple identité, et de considérer le sous-groupe $ H$ de $ GL(E)$ des matrices de la forme

$\displaystyle \left( \begin{array}{cccccc}{\lambda}& 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0...
...\ 0 & 0 & \ddots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right)$

avec $ {\lambda}$ non nul.

Le déterminant induit bien une bijection de $ H$ sur $ \mathbb{K}^*$, on a bien $ H \cap SL(E)$ réduit à l'élément neutre, on a bien $ SL(E).H=GL(E)$, et $ SL(E)$ est clairement distingué. $ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition [Générateurs de $ GL(E)$ et $ SL(E)$]

$ \bullet $$ GL(E)$ est engendré par l'ensemble des dilatations de $ E$.

$ \bullet $$ SL(E)$ est engendré par l'ensemble des transvections de $ E$.

Démonstration: Je ne détaillerai pas intégralement la preuve, laborieuse, mais peu difficile. Il suffit de montrer les points suivants, dans cet ordre:

$ \bullet $Toute matrice de la forme $ I+{\lambda}E_{i,j}$ pour $ i\neq j$, avec $ {\lambda}\in \mathbb{K}$ et $ E_{i,j}$ la matrice définie par $ (E_{i,j})_{k,l}=1$ si $ i=k$ et $ j=l$ et 0 sinon, est la matrice d'une transvection. L'inverse d'une matrice de transvection, est une matrice de transvection.

$ \bullet $Une matrice de déterminant $ 1$ est égale à un produit de matrices de transvections. Pour le prouver, on considère $ M$ une telle matrice, on la multiplie par des matrices de transvection pour se ramener à une matrice n'ayant qu'un seul élément non nul sur la première ligne, pour que cet élément soit l'élément en haut à gauche, et pour qu'il soit égal à $ 1$. Il suffit alors de procéder par récurrence en considérant un produit de matrices par bloc.

(ce point est exactement le deuxième point annoncé)

$ \bullet $Une matrice appartenant à $ GL(E)$ est le produit d'une matrice appartenant à $ SL(E)$ et d'une matrice de dilatation (voir proposition [*]).$ \sqcap$$ \sqcup$


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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