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Groupe orthogonal et groupe spécial orthogonal

$ \boxcircle$ Cas général

Définition On appelle groupe orthogonal d'un espace euclidien $ E$ l'ensemble des automorphismes orthogonaux de $ E$ muni de la composition $ \circ$; on le note $ O(E)$.

On appelle groupe spécial orthogonal d'un espace euclidien $ E$ l'ensemble des automorphismes orthogonaux de $ E$ de déterminant $ 1$ muni de la composition $ \circ$; on le note $ SO(E)$ ou $ O^+(E)$.

On note $ O^-(E)$ le complémentaire de $ SO(E)$ dans $ O(E)$.

On note en outre $ O_n(\mathbb{R})$ l'ensemble $ O(\mathbb{R}^n)$.

On note en outre $ SO_n(\mathbb{R})$ l'ensemble $ SO(\mathbb{R}^n)$.


Ces espaces sont isomorphes aux espaces décrits en [*], donc je n'approfondis pas plus ici pour le moment, à part les cas spéciaux des dimensions $ 1$, $ 2$ et $ 3$.

$ \boxcircle$ Dimension $ 1$

Ce cas est de peu d'intérêt; les seules transformations orthogonales sont $ x \mapsto x$ et $ -x \mapsto -x$...

$ \boxcircle$ Dimension $ 2$

Un rapide calcul montre que les matrices des transformations orthogonales en dimension $ 2$ sont de l'une des deux formes suivantes:

$\displaystyle \left( \begin{array}{cc} cos(\theta) & -sin(\theta) \\ sin(\theta...
...cc} cos(\theta) & sin(\theta) \\ sin(\theta) & -cos(\theta) \end{array} \right)$

La matrice de gauche représente une transformation du groupe spécial orthogonal (c'est à dire de déterminant $ 1$, et donc dans $ SO(E)=O^+(E)$), celle de droite une transformation qui n'est pas de ce groupe (c'est à dire que celle-ci est de déterminant $ -1$, et donc dans $ O^-(E)$).

(le calcul est facile, il suffit de se souvenir que $ x^2+y^2=1 \to \exists \theta / x=cos(\theta)$    et $ y=sin(\theta)$)

Définition On appelle rotation d'angle $ \theta$ un endomorphisme associé à la matrice:

$\displaystyle \left( \begin{array}{cc} cos(\theta) & -sin(\theta) \\ sin(\theta) & cos(\theta) \end{array} \right)$


Toujours par des calculs sans grande difficulté on montrerait que $ SO_2(\mathbb{R})$ commute, et est en fait isomorphe à $ \mathbb{R}/(2.\Pi.\mathbb{Z})$; les seules transformations orthogonales de déterminant $ 1$ sont en fait les rotations. On note $ r_\theta$ la rotation d'angle $ \theta$.

En étudiant la matrice de droite, on constate qu'elle est symétrique, donc diagonalisable (voir la partie [*]) ; son polynôme caractéristiques est $ X^2-1$; elle est semblable à $ \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)$. Il s'agit donc en fait d'une symétrie par rapport à un hyperplan (ici hyperplan = droite car on est en dimension $ 2$). Ainsi les transformations orthogonales de déterminant $ -1$ sont en fait des symétries par rapport à des droites. On note que les symétries ne commutent pas, elles. On note $ s_\theta$ la symétrie correspondant $ \theta$ ($ \theta$ est en fait le double de l'angle de l'axe invariant avec le premier axe).

On notera que $ s_\theta \circ s_{\theta'}=r_{\theta-\theta'}$.

Attention! l'angle n'est défini qu'à $ 2.\Pi$ près pour les rotations et les symétries.

$ \boxcircle$ Dimension $ 3$

Proposition En dimension $ 3$, $ O^+(E)$ comporte:

$ \bullet $les rotations axiales

$ \bullet $l'identité, qui est un cas particulier de rotation axiale

$ \bullet $la symétrie par rapport à une droite, qui est un cas particulier de rotation axiale

En dimension $ 3$, $ O^-(E)$ comporte:

$ \bullet $les symétries orthogonales par rapport à un plan

$ \bullet $les composées d'une rotation autour d'un axe et d'une symétrie par rapport au plan orthogonal à cet axe

On se donne $ f$ un endomorphisme orthogonal de $ E$ euclidien de dimension $ 3$, et on considère $ I$ l'ensemble $ \{x/f(x)=x\}$ (ensemble des invariants par $ f$). On va classer les $ f$ possibles suivant la dimension de $ I$.

$ \diamond$ $ dim\ I=3$

Pas drôle: $ f$ est l'identité, et donc $ f\in SO(E)=O^+(E)$.

$ \diamond$ $ dim\ I=2$

Alors l'orthogonal de $ I$ est de dimension $ 1$; la restriction de $ f$ à cet espace est un endomorphisme orthogonal (rappelons que si un espace est stable pour un endomorphisme orthogonal, alors son orthogonal aussi). Ce n'est pas l'identité puisque $ f$ n'est pas l'identité, donc il s'agit de $ x \mapsto -x$ (si un endormorphisme est orthogonal, ses seules valeurs propres possibles sont $ 1$ et $ -1$). $ f$ est donc une symétrie par rapport à un plan. $ f\in O^-(E)$.

$ \diamond$ $ dim\ I=1$

La restriction de $ f$ à l'orthogonal de $ I$ (rappelons que si un espace est stable pour un endomorphisme orthogonal, alors son orthogonal aussi) est un endomorphisme orthogonal et n'a pas de vecteur invariant; donc c'est une rotation. Donc $ f$ est une rotation autour d'un axe. Sa matrice est semblable à la matrice

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} cos(\theta) & -sin(\theta) & 0 \\ sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

$ f$ est de déterminant $ 1$, et donc appartient à $ SO(E)=O^+(E)$.

$ \diamond$ $ dim\ I=0$

En dimension $ 3$, tout endomorphisme admet au moins une valeur propre (tout polynôme de degré impair admettant au moins une racine sur $ \mathbb{R}$).
$ f$ admet donc nécéssairement une valeur propre. Or un endomorphisme orthogonal ne peut avoir pour valeur propre que $ 1$ ou $ -1$; donc $ -1$ est valeur propre.
On va maintenant considérer $ O$, l'ensemble des $ x$ tels que $ f(x)=-x$, et on va raisonner sur la dimension de $ O$.

$ dim\ O=3$

On a alors $ f$ la symétrie par rapport à 0; $ f$ est dans $ O(E)$ et pas dans $ SO(E)$; $ f$ est dans $ O^-(E)$.

$ dim\ O=2$: cas impossible

Supposons $ dim\ O=2$.

Alors l'orthogonal de $ O$ est stable par $ f$; donc soit la restriction de $ f$ à cet orthogonal est l'identité, soit c'est moins l'identité; puisque $ dim\ I=0$ il s'agit de moins l'identité. Donc en fait $ dim\ O=3$, d'où contradiction. Donc ce cas ne peut se produire.

$ dim\ O=1$

On considère alors la restriction de $ f$ à l'orthogonal de $ O$. Il s'agit d'un endomorphisme orthogonal en dimension $ 2$, sans valeur propre; donc une rotation qui n'est pas une symétrie par rapport à un point, ni l'identité. $ f$ est de déterminant $ -1$, et donc est dans $ O(E)$ mais pas dans $ SO(E)$; $ f\in O^-(E)$.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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