Groupe orthogonal réel et groupe spécial orthogonal réel

Définition On appelle groupe orthogonal réel d'ordre l'ensemble des matrices réelles de type telles que , on le note ; il s'agit d'un sous-groupe du groupe linéaire réel d'ordre .
On appelle groupe spécial orthogonal réel d'ordre l'ensemble des matrices réelles de type telles que et , on le note ; il s'agit d'un sous-groupe du groupe orthogonal réel d'ordre et d'un sous-groupe du groupe spécial linéaire d'ordre .
On appelle matrice orthogonale une matrice appartenant à pour un certain .

Proposition [Propriété des matrices orthogonales réelles] Une matrice est orthogonale si et seulement si sa transposée l'est.
Une matrice est orthogonale si et seulement si ses vecteurs colonnes forment une famille orthonormale de .
Une matrice est orthogonale si et seulement si ses vecteurs lignes forment une famille orthonormale de .
Une matrice est orthogonale si et seulement si il s'agit d'une matrice de changement de bases orthonormales.
Une matrice orthogonale est de déterminant ou .
Une valeur propre de matrice orthogonale est soit soit .
Une matrice orthogonale vérifie .