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Groupe orthogonal réel et groupe spécial orthogonal réel

Définition On appelle groupe orthogonal réel d'ordre $ n$ l'ensemble des matrices $ M$ réelles de type $ (n,n)$ telles que $ ^tM.M=I$, on le note $ O_n(\mathbb{R})$ ; il s'agit d'un sous-groupe du groupe linéaire réel d'ordre $ n$.
On appelle groupe spécial orthogonal réel d'ordre $ n$ l'ensemble des matrices $ M$ réelles de type $ (n,n)$ telles que $ ^tM.M=I$ et $ det\ M=1$, on le note $ SO_n(\mathbb{R})$; il s'agit d'un sous-groupe du groupe orthogonal réel d'ordre $ n$ et d'un sous-groupe du groupe spécial linéaire d'ordre $ n$.
On appelle matrice orthogonale une matrice appartenant à $ O_n(\mathbb{R})$ pour un certain $ n$.

Proposition [Propriété des matrices orthogonales réelles] Une matrice est orthogonale si et seulement si sa transposée l'est.
Une matrice est orthogonale si et seulement si ses vecteurs colonnes forment une famille orthonormale de $ \mathbb{R}^n$.
Une matrice est orthogonale si et seulement si ses vecteurs lignes forment une famille orthonormale de $ \mathbb{R}^n$.
Une matrice est orthogonale si et seulement si il s'agit d'une matrice de changement de bases orthonormales.
Une matrice orthogonale est de déterminant $ 1$ ou $ -1$.
Une valeur propre de matrice orthogonale est soit $ 1$ soit $ -1$.
Une matrice orthogonale $ M$ vérifie $ com(M)=det(M).M$.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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