Définition
On appelle groupe affine d'un espace affine l'ensemble des applications affines bijectives de dans lui-même muni de la composition; c'est un groupe. On le note .
On appelle groupe spécial affine d'un espace affine l'ensemble des applications
affines bijectives de dans lui-même telles que
, muni de la composition; c'est un groupe. On le note .
Le fait qu'il s'agisse d'un groupe est facile à voir. La proposition suivante est évidente:
Proposition
L'application
est un morphisme de dans
.
L'ensemble des translations de l'espace affine
est un groupe pour la composition; ce groupe est
distingué. On le voit en constatant que c'est le noyau du morphisme
qui à dans associe
dans
.
L'ensemble des homothéties et des translations d'un espace affine est stable par composition et
contient l'identité; or
il est inclus dans . Donc c'est un sous-groupe de . Il est généré
par les homothéties (toute translation s'exprime comme composée de deux homothéties
de rapport inverse).
Ce sous-groupe est exactement l'ensemble des bijections de transformant
toute droite en une droite parallèle.
On fixe une partie de , et on considère l'ensemble des appartenant à
telles que
; est stable par composition et contient l'identité, c'est donc un sous-groupe de .
On suppose que est de dimension finie . On se donne alors un repère affine
.
Nécéssairement, une bijection affine laissant invariant un repère a pour restriction à la partie
une permutation . Une application affine étant entièrement déterminée par l'image d'un repère affine, on en déduit que l'ensemble des applications affines bijectives laissant invariant le repère
est un groupe isomorphe à
On a vu que , ensemble des translations de , est distingué dans ,
puisque noyau du morphisme
.
On a une suite exacte
On se donne appartenant à donné; l'application
induit une bijection
de l'ensemble des bijections affines de laissant invariant sur
; on a donc un relèvement de
.
Donc
, avec pour action de dans avec l'application affine laissant invariant et associée à
(ce qui revient à
, en notant
la translation de vecteur
).
En considérant l'isomorphisme évident entre et
(c'est-à-dire en remplaçant une translation par le vecteur de cette translation) on peut aussi écrire
Et quel que soit dans on peut écrire toute application bijective affine de dans sous la forme
avec application affine bijective laissant 0 invariant.