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Groupe affine gaaa1 d'un espace affine

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Sous-sections

$\boxcircle$ Générateurs de et
$\boxcircle$ Sous-groupes remarquables de
$\boxcircle$ Le groupe affine comme produit semi-direct

Groupe affine d'un espace affine

Définition On appelle groupe affine d'un espace affine l'ensemble des applications affines bijectives de dans lui-même muni de la composition; c'est un groupe. On le note .

On appelle groupe spécial affine d'un espace affine l'ensemble des applications affines bijectives de dans lui-même telles que $det\ \overrightarrow f=1$ , muni de la composition; c'est un groupe. On le note .

Le fait qu'il s'agisse d'un groupe est facile à voir. La proposition suivante est évidente:

Proposition L'application $f \mapsto \overrightarrow {f}$ est un morphisme de dans $GL{\overrightarrow {X}}$ .

Etudions maintenant la structure du groupe .

$\boxcircle$ Générateurs de et

Proposition

$\bullet$ est engendré par l'ensemble des dilatations affines de

$\bullet$ est engendré par l'ensemble des transvections affines de

Démonstration: Simple conséquence de la proposition . $\sqcap$ $\sqcup$

$\boxcircle$ Sous-groupes remarquables de

$\diamond$ Le sous-groupe des symétrie

L'ensemble des symétries est un sous-groupe distingué de . En effet, avec $s_{A,\overrightarrow B}$ la symétrie par rapport à parallèlement à $\overrightarrow B$ , on a

$\displaystyle g \circ s_{Y,\overrightarrow Z} \circ g^{-1} = s_{g(Y),\overrightarrow g(\overrightarrow Z)}$

$\diamond$ Le sous-groupe des translations

L'ensemble des translations de l'espace affine est un groupe pour la composition; ce groupe est distingué. On le voit en constatant que c'est le noyau du morphisme qui à dans associe $\overrightarrow {f}$ dans $GL(\overrightarrow {X})$ .

Le groupe quotient de par est isomorphe à $\overrightarrow {X}$ .

$\diamond$ Le sous-groupe des homothéties-translations

L'ensemble des homothéties et des translations d'un espace affine est stable par composition et contient l'identité; or il est inclus dans . Donc c'est un sous-groupe de . Il est généré par les homothéties (toute translation s'exprime comme composée de deux homothéties de rapport inverse).

Ce sous-groupe est exactement l'ensemble des bijections de transformant toute droite en une droite parallèle.

$\diamond$ Le sous-groupe des applications affines bijectives de laissant une partie donnée invariante

On fixe une partie de , et on considère l'ensemble des appartenant à telles que $f(P) \subset P$ ; est stable par composition et contient l'identité, c'est donc un sous-groupe de .

$\diamond$ En dimension finie, le sous-groupe des applications affines laissant fixe un repère

On suppose que est de dimension finie . On se donne alors un repère affine .

Nécéssairement, une bijection affine laissant invariant un repère a pour restriction à la partie $\{A_0,...,A_n\}$ une permutation $\sigma$ . Une application affine étant entièrement déterminée par l'image d'un repère affine, on en déduit que l'ensemble des applications affines bijectives laissant invariant le repère est un groupe isomorphe à $\sigma _{n+1}$

$\boxcircle$ Le groupe affine comme produit semi-direct

On a vu que , ensemble des translations de , est distingué dans , puisque noyau du morphisme $f \mapsto \overrightarrow {f}$ . On a une suite exacte

$\displaystyle { \atop 1 \rightarrow T(X) \rightarrow GA(X)}{f \mapsto \overrightarrow {f} \atop \rightarrow}{\atop GL(\overrightarrow {X}) \rightarrow 1}$

On se donne appartenant à donné; l'application $f \mapsto \overrightarrow {f}$ induit une bijection de l'ensemble des bijections affines de laissant invariant sur $\overrightarrow {X}$ ; on a donc un relèvement de $GL(\overrightarrow {X})$ .

Donc $GA(X)= T(X) \rtimes GL(\overrightarrow {X})$ , avec pour action de dans $\overrightarrow {f}.t=f_0^{-1}\circ t \circ f_0$ avec l'application affine laissant invariant et associée à $\overrightarrow {f}$ (ce qui revient à $\overrightarrow {f}.t_{\overrightarrow a}=t_{\overrightarrow {f}(\overrightarrow a)}$ , en notant $t_{\overrightarrow {u}}$ la translation de vecteur $\overrightarrow {u}$ ).

En considérant l'isomorphisme évident entre et $\overrightarrow {X}$ (c'est-à-dire en remplaçant une translation par le vecteur de cette translation) on peut aussi écrire

$\displaystyle GA(X) = \overrightarrow {X} \rtimes GL(\overrightarrow {X})$

Et quel que soit dans on peut écrire toute application bijective affine de dans sous la forme $f = t \circ u_0$ avec application affine bijective laissant 0 invariant.