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Groupe affine d'un espace affine

Définition On appelle groupe affine d'un espace affine $ X$ l'ensemble des applications affines bijectives de $ X$ dans lui-même muni de la composition; c'est un groupe. On le note $ GA(X)$.

On appelle groupe spécial affine d'un espace affine $ X$ l'ensemble des applications affines bijectives $ f$ de $ X$ dans lui-même telles que $ det\ \overrightarrow f=1$, muni de la composition; c'est un groupe. On le note $ SA(X)$.

Le fait qu'il s'agisse d'un groupe est facile à voir. La proposition suivante est évidente:

Proposition L'application $ f \mapsto \overrightarrow {f}$ est un morphisme de $ GA(X)$ dans $ GL{\overrightarrow {X}}$.

Etudions maintenant la structure du groupe $ GA(X)$.

$ \boxcircle$ Générateurs de $ GA(X)$ et $ SA(X)$

Proposition

$ \bullet $$ GA(X)$ est engendré par l'ensemble des dilatations affines de $ X$

$ \bullet $$ SA(X)$ est engendré par l'ensemble des transvections affines de $ X$

Démonstration: Simple conséquence de la proposition [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \boxcircle$ Sous-groupes remarquables de $ GA(X)$

$ \diamond$ Le sous-groupe des symétrie

L'ensemble des symétries est un sous-groupe distingué de $ GA(X)$. En effet, avec $ s_{A,\overrightarrow B}$ la symétrie par rapport à $ A$ parallèlement à $ \overrightarrow B$, on a

$\displaystyle g \circ s_{Y,\overrightarrow Z} \circ g^{-1} = s_{g(Y),\overrightarrow g(\overrightarrow Z)}$

$ \diamond$ Le sous-groupe des translations

L'ensemble $ T(X)$ des translations de l'espace affine $ X$ est un groupe pour la composition; ce groupe est distingué. On le voit en constatant que c'est le noyau du morphisme qui à $ f$ dans $ GA(X)$ associe $ \overrightarrow {f}$ dans $ GL(\overrightarrow {X})$.

Le groupe quotient de $ X$ par $ T(X)$ est isomorphe à $ \overrightarrow {X}$.

$ \diamond$ Le sous-groupe des homothéties-translations

L'ensemble des homothéties et des translations d'un espace affine $ X$ est stable par composition et contient l'identité; or il est inclus dans $ GA(X)$. Donc c'est un sous-groupe de $ GA(X)$. Il est généré par les homothéties (toute translation s'exprime comme composée de deux homothéties de rapport inverse).

Ce sous-groupe est exactement l'ensemble des bijections de $ X$ transformant toute droite en une droite parallèle.

$ \diamond$ Le sous-groupe des applications affines bijectives de $ X$ laissant une partie donnée invariante

On fixe une partie $ P$ de $ X$, et on considère $ G$ l'ensemble des $ f$ appartenant à $ GA(X)$ telles que $ f(P) \subset P$; $ G$ est stable par composition et contient l'identité, c'est donc un sous-groupe de $ GA(X)$.

$ \diamond$ En dimension finie, le sous-groupe des applications affines laissant fixe un repère

On suppose que $ X$ est de dimension finie $ n$. On se donne alors un repère affine $ A_0,A_1,...,A_n$.

Nécéssairement, une bijection affine $ f$ laissant invariant un repère a pour restriction à la partie $ \{A_0,...,A_n\}$ une permutation $ \sigma $. Une application affine étant entièrement déterminée par l'image d'un repère affine, on en déduit que l'ensemble des applications affines bijectives laissant invariant le repère $ A_0,A_1,...,A_n$ est un groupe isomorphe à $ \sigma _{n+1}$

$ \boxcircle$ Le groupe affine comme produit semi-direct

On a vu que $ T(X)$, ensemble des translations de $ X$, est distingué dans $ GA(X)$, puisque noyau du morphisme $ f \mapsto \overrightarrow {f}$. On a une suite exacte

$\displaystyle { \atop 1 \rightarrow T(X) \rightarrow GA(X)}{f \mapsto \overrightarrow {f} \atop \rightarrow}{\atop GL(\overrightarrow {X}) \rightarrow 1}$

On se donne $ O$ appartenant à $ X$ donné; l'application $ f \mapsto \overrightarrow {f}$ induit une bijection de l'ensemble des bijections affines de $ X$ laissant $ O$ invariant sur $ \overrightarrow {X}$; on a donc un relèvement de $ GL(\overrightarrow {X})$.

Donc $ GA(X)= T(X) \rtimes GL(\overrightarrow {X})$, avec pour action de $ GL(X)$ dans $ T(X)$ $ \overrightarrow {f}.t=f_0^{-1}\circ t \circ f_0$ avec $ f_0$ l'application affine laissant $ O$ invariant et associée à $ \overrightarrow {f}$ (ce qui revient à $ \overrightarrow {f}.t_{\overrightarrow a}=t_{\overrightarrow {f}(\overrightarrow a)}$, en notant $ t_{\overrightarrow {u}}$ la translation de vecteur $ \overrightarrow {u}$).

En considérant l'isomorphisme évident entre $ T(X)$ et $ \overrightarrow {X}$ (c'est-à-dire en remplaçant une translation par le vecteur de cette translation) on peut aussi écrire

$\displaystyle GA(X) = \overrightarrow {X} \rtimes GL(\overrightarrow {X})$

Et quel que soit $ O$ dans $ X$ on peut écrire toute application bijective affine $ f$ de $ X$ dans $ X$ sous la forme $ f = t \circ u_0$ avec $ u_0$ application affine bijective laissant 0 invariant.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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