Groupe projectif d'un espace vectoriel de dimension finie
Définition- Proposition
On se donne un
-espace vectoriel de dimension finie.
L'ensemble des homographies de dans forme un groupe pour , appelé groupe projectif de , noté . Ce groupe est isomorphe à
, avec l'identité de dans .
On note usuellement pour
.
Démonstration:
Seul l'isomorphisme mérite d'être détaillé.
Considérons l'application , qui à un endomorphisme de associe l'homographie associée à cet endomorphisme (on se donne bien entendu pour cela un repère projectif de ).
Son noyau est l'ensemble des applications linéaires de dans qui laissent toute droite invariante. Il faut donc montrer qu'un endomorphisme laissant toute droite invariante est une homothétie.
Lemme
Un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie laissant invariante toute droite est une homothétie.
Démonstration:On procède par récurrence sur la dimension de l'espace vectoriel .
Pour le résultat est clair.
Pour , on considère un endomorphisme de , tel que pour tout
il existe un scalaire
tel que
.
Il est clair que si et de sont liés, alors
.
Considérons maintenant et linéairement indépendants.
Alors
, donc
.
On a donc montré le résultat souhaité.
Du coup, grâce à ce lemme, la preuve de la proposition est achevée.
un
-espace vectoriel de dimension finie.
L'ensemble des homographies
dans 
, appelé groupe projectif de 
. Ce groupe est isomorphe à
, avec 
l'identité de 
pour
.
, qui à un endomorphisme de 
de l'espace vectoriel .
le résultat est clair.
, on considère 
un endomorphisme de 
il existe un scalaire
tel que
.
de 
.
, donc
.
