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Groupe projectif d'un espace vectoriel de dimension finie

Définition - Proposition On se donne $ E$ un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. L'ensemble des homographies de $ P(E)$ dans $ P(E)$ forme un groupe pour $ \circ$, appelé groupe projectif de $ E$, noté $ PGL(E)$. Ce groupe est isomorphe à $ GL(E) / (\mathbb{K}\setminus \{0\}.I)$, avec $ I$ l'identité de $ E$ dans $ E$.

On note usuellement $ PGL_n(\mathbb{K})$ pour $ PGL(\mathbb{K}^n)$.

Démonstration: Seul l'isomorphisme mérite d'être détaillé.

Considérons l'application $ H$, qui à un endomorphisme de $ E$ associe l'homographie associée à cet endomorphisme (on se donne bien entendu pour cela un repère projectif de $ E$).

Son noyau est l'ensemble des applications linéaires de $ E$ dans $ E$ qui laissent toute droite invariante. Il faut donc montrer qu'un endomorphisme laissant toute droite invariante est une homothétie.

Lemme Un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie laissant invariante toute droite est une homothétie.

Démonstration: On procède par récurrence sur la dimension $ n$ de l'espace vectoriel .

Pour $ n=1$ le résultat est clair.

Pour $ n>1$, on considère $ f$ un endomorphisme de $ E$, tel que pour tout $ x$ il existe un scalaire $ {\lambda}_x$ tel que $ f(x)={\lambda}_x.x$.

Il est clair que si $ x$ et $ y$ de $ E$ sont liés, alors $ {\lambda}_x={\lambda}_y$.

Considérons maintenant $ x$ et $ y$ linéairement indépendants.

Alors $ f(x+y)={\lambda}_{x+y}.x + {\lambda}_{x+y}.y=f(x)+f(y)={\lambda}.x+{\lambda}.y$, donc $ {\lambda}_x={\lambda}_{x+y}={\lambda}_y$.

On a donc montré le résultat souhaité.$ \sqcap$$ \sqcup$

Du coup, grâce à ce lemme, la preuve de la proposition est achevée.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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