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Groupe des quaternions

Définition On le note $ H_8$. Ses éléments sont $ 1,-1,i,j,k,-i,-j,-k$, et la multiplication est définie par la table suivante:

\begin{displaymath}\begin{array}{c\vert cccc}
& 1 & i & j & k\\
\hline
1 & 1 &...
... & -j\\
j & j & -k& -1& i\\
k & k & j & -i& -1\\
\end{array}\end{displaymath}

On peut aussi résumer la loi de multiplication par

$\displaystyle ij=k,jk=i,ki=j$

$\displaystyle ji=-k,kj=-i,ik=-j$

$\displaystyle i^2=j^2=k^2=-1$

$\displaystyle D(H_8)=\{1,-1\}$

$\displaystyle Z(H_8)=\{1,-1\}$


Ce groupe n'est pas commutatif. Ses sous-groupes sont $ \{1\}$, $ \{1,-1\}$, $ \{1,-1,i,-i\}$ et $ H_8$ lui-même; ils sont tous distingués. Cela montre d'ailleurs que la propriété des groupes abéliens d'avoir tous leurs sous-groupes distingués n'est pas une condition suffisante pour que le groupe soit abélien.



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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