• La conjugaison dans
• Les matrices de permutations
• La signature
• Simplicité de pour ; conséquences
• Décomposition de
• Automorphismes de
  • Les automorphismes intérieurs sont des automorphismes
    
  • Les automorphismes sont des automorphismes intérieurs lorsque
    

Groupe symétrique

Définition On appelle permutation d'un ensemble une bijection de cet ensemble sur lui-même.
On appelle support d'une permutation sur un ensemble tout élément de cet ensemble qui n'est pas invariant par cette permutation.
On appelle cycle d'un ensemble une bijection telle qu'il existe (en nombre fini et distincts) tels que pour , et si n'est aucun des . est l'ordre du cycle; il ne s'agit pas d'une définition, car cet ordre colle à la notion d'ordre sur les éléments d'un groupe. est aussi appelé longueur du cycle (cette fois-ci c'est bien une définition!).
On appelle -cycle un cycle d'ordre .
On appelle transposition une permutation qui «échange» deux éléments. On note la transposition qui échange et . Une transposition est un cycle est longueur .
On appelle groupe symétrique d'un ensemble l'ensemble des permutations de cet ensemble.
On note et on appelle -ième groupe symétrique standard le groupe symétrique de . Tous les groupes symétriques sur des ensembles de cardinal sont isomorphes à .
Pour un donné on appelle signature l'unique homomorphisme de dans tel que lorsque est une permutation.
On appelle -ième groupe alterné le noyau de (dans ). On le note .
On appelle matrice associée la permutation de la matrice telle que .

Remarques et propriétés:
On parle aussi, au lieu de -ième groupe symétrique standard, de groupe symétrique d'ordre ; il faut bien voir que ce groupe n'est PAS d'ordre mais d'ordre .
Pour bien faire il faudrait démontrer que l'on caractérise bien ici la signature. Cela serait fait dans la partie .

Proposition
si .
est engendré par les transpositions
est engendré par les transpositions de la forme , avec .
est engendré par les transpositions de la forme , avec .
est engendré par la transposition et le cycle .
est engendré par les cycles d'ordre .
Des cycles de supports disjoints commutent.

Proposition Soit une permutation de fini. L'orbite d'un point pour est l'ensemble des avec . est un cycle s'il existe une orbite et une seule qui soit de cardinal .

Démonstration: Si on a un cycle, il est clair qu'il existe une seule orbite de cardinal ; si on a une seule orbite dans ce cas, alors on considère les éléments de l'orbite, la suite est évidente.

Théorème Toute permutation peut s'écrire comme produit de cycles de supports deux à deux disjoints. La décomposition est unique à l'ordre près des facteurs. Démonstration:

Considérons une permutation de . L'unicité de sa décomposition sous la forme annoncée découle immédiatement de l'étude des orbites de l'action de sur (on considère ce qu'il se passe sur chaque orbite).

Pour l'existence, on se restreint aussi à une telle orbite. Il est clair que se comporte sur cette orbite comme un cycle. D'où le résultat.

Proposition Le centre de est trivial dès que .

Démonstration: Soit élément non neutre de . Il existe alors tel que . On prend alors différent à la fois de et de , et on constate que

La conjugaison dans

On considère l'opération de sur par automorphisme intérieur, comme étudié en .

Proposition Cette opération est transitive, et même transitive pour tout . Elle est fidèle pour , puisqu'alors le centre est trivial.
Si on se limite à , cette opération est fois transitive.

Démonstration: Le premier point est évident. Pour le second, on considère éléments de , et on ajoute deux autres points; on considère la permutation qui affecte nos points correctements, et qui, si la permutation obtenue est impaire, permute les deux points supplémentaires.

Proposition Pour tout , l'ensemble des cycles d'ordre est une orbite (c'est à dire une classe de conjugaison).
Si les cycles d'ordre sont conjugués dans .

Démonstration: Remarquons tout d'abord que si et , alors . Pour montrer le premier point, il suffit alors, étant donnés deux cycles de même longueur et de considérer la permutation qui à associe ; on a bien .
Le deuxième point est plus délicat, et utilise la proposition . Etant donnés deux -cycles et , on considère la permutation de qui à associe ; on a bien .

Les matrices de permutations

Définition L'application qui à une permutation associe la matrice associée à cette permutation est un morphisme injectif dans (ensemble des matrices inversibles de type ).
On a la propriété .
Le déterminant de est égal à la signature de .

La signature

Proposition [Différentes caractérisations de la signature] On peut définir la signature sur de l'une des façons suivantes:
1) On appelle inversion d'une permutation , une paire d'éléments tels que . On définit , avec le nombre d'inversions.
2) Il existe un unique morphisme de sur tel que si est une permutation.
3) est égal à avec le nombre de transpositions dans une décomposition de en produit de transpositions.

Démonstration: Pas très très dur... Pour voir que entraine il faut voir que est le produit des , le reste est facile.
Il y a en outre une caractérisation de la signature, donnée en .

Simplicité de pour ; conséquences

Démonstration: On procède en deux étapes:
Le cas
- Le groupe se décompose en 60 éléments; l'identité, 15 éléménts d'ordre 2, qui sont des produits de deux transpositions disjointes, 20 éléments d'ordre 3, qui sont des 3-cycles, et 24 d'ordre 5, qui sont des 5-cycles. On va se préoccuper des classes de conjugaison de .
- les éléments d'ordre sont conjugués (facile).
- les -cycles sont conjugués.
Supposons sous-groupe de , et , et .
- S'il contient un élément d'ordre il les contient tous, puisqu'il est distingué et que les éléments d'ordre sont conjugués.
- S'il contient un élément d'ordre il les contient tous, puisqu'il est distingué et que les éléments d'ordre sont conjugués.
- S'il contient un éléments d'ordre , alors il contient aussi le -Sylow engendré par (voir les théorèmes de Sylow, ). Les -Sylow étant tous conjugués, il les contient donc tous; tout élément d'ordre étant inclus dans un -sylow, tout élément d'ordre est alors inclus dans .
- S'il contient donc un seul type d'éléments parmi les éléments ci-dessus en plus de l'unité, alors alors son cardinal serait soit , soit , soit ; or ces nombres ne divisent pas . Donc il contient au moins deux types de ces éléments. Donc son cardinal est au moins , et comme il divise , est en fait égal à . Le résultat est donc prouvé dans le cas de .
Le cas
- On considère , ; on considère dans , .
- Par hypothèse on a un certain tel que .
- on peut choisir différent à la fois de , de et de .
- on considère le -cycle . .
- On note la permutation .
- L'ensemble ayant au plus élément (car ), on le complète par des éléments quelconques pour avoir un ensemble de éléments contenant .
- est l'identité en dehors de , et .
- On constate que est différent de l'identité car .
- , ensemble des permutations paires de est isomorphe à ; on a un morphisme injectif de dans en considérant pour une permutation de la permutation dont la restriction à est et la restriction à est l'identité.
- On considère l'intersection de et de .
- est distingué dans , clairement.
- il est clair que appartient à , et que n'est pas l'élément neutre.
- Par simplicité de , on sait alors que est égal à .
- On considère alors un -cycle de , il est dans , donc est dans .
- contient donc un -cycle, or puisqu'il est distingué il contient aussi sa classe de conjugaison, donc il contient tous les -cycles (les -cycles étant tous conjugués). Donc il contient le groupe engendré par les -cycles, c'est-à-dire .
Ceci termine la preuve.

Corollaire pour et pour .

Démonstration: Première preuve (en utilisant le théorème):
est distingué, donc il ne saurait être plus petit que , puisque est simple, donc .
est le sous-groupe engendré par les commutateurs de , or il est clair que ces commutateurs appartiennent à (considérer leurs signatures). Donc est inclus dans , or puisqu'il est distingué, il ne saurait être inclus strictement.
Deuxième preuve (élémentaire):
- on montre facilement que tout commutateur de est dans .
- on en déduit que
- on montre alors que tout -cycle de s'écrit comme commutateur d'éléments de ; en effet avec un tel -cycle, et sont conjugués dans (vrai pour toute paire de -cycles), donc , et donc .

Corollaire Les sous-groupes distingués de sont .

Démonstration: Supposons sous-groupe distingué de .
est égal à ou .
Si , alors si , alors contient un produit impair de transpositions; en multipliant par l'inverse du produit des transpositions sauf une on constate que contient une transposition. Etant données deux transpositions, on constate qu'elles sont conjuguées par les éléments de ; donc contient en fait tout .
Si , alors est un isomorphisme de sur . Donc contient en fait un seul autre élément au plus. S'il en contient deux alors soit l'autre élément; il doit commuter avec n'importe quel élément puisque est distingué et puisque n'est pas conjugué à l'unité; or le centre de est trivial.

Corollaire Sois un sous-groupe de d'indice . Alors est isomorphe à .

Démonstration: On rappelle que l'indice d'un sous-groupe, on appelle indice le cardinal du groupe quotient. Un sous-groupe d'indice de est donc en fait un sous-groupe de cardinal .
Le cas s'obtient facilement. Pour , on constate que ou opère à gauche sur l'ensemble quotient (par translation à gauche, voir ). On a donc un homomorphisme de dans l'ensemble des permutations de , qui est isomorphe à .Il reste maintenant à voir que cet homomorphisme est injectif (le caractère surjectif se déduisant alors des cardinaux). Son noyau est l'intersection des pour dans , et donc il est de cardinal au plus le cardinal de , donc ; or il est distingué, et on a montré que les seuls sous-groupes distingués de étaient , et ; donc il s'agit de , d'où le résultat.

Admettons enfin sans preuve la proposition ci-dessous:

Proposition Si et tous les vérifiant ces hypothèses sont conjugués. En fait, avec les mêmes hypothèses que ci-dessus, il existe tel que soit l'ensemble des permutations laissant invariant.

Décomposition de

On a une suite exacte

Automorphismes de

Les automorphismes intérieurs sont des automorphismes

Les automorphismes intérieurs sont les automorphismes de la forme , avec une permutation quelconque. Les automorphismes intérieurs forment un sous-groupe du groupe des automorphismes, de manière évidente.

Les automorphismes sont des automorphismes intérieurs lorsque

Proposition Un automorphisme de transformant toute transposition en transposition est un automorphisme intérieur.

Démonstration: On considère les transpositions pour . Ces transpositions engendrent toutes les transpositions. Il suffit donc de montrer que , qui transforme toutes ces transpositions en transpositions, coïncident avec un automorphisme intérieur.
Pour cela on constate que:
les ne sont pas disjointes deux à deux.
et ont même élément commun que et .
on peut donc noter sous la forme .
est la permutation recherchée, tel que l'automorphisme intérieur correspondant corresponde à .

Proposition On suppose et que est une permutation produit de cycles disjoints, d'ordre , d'ordre , d'ordre , ... , d'ordre . Alors le cardinal du centralisateur de est égal à

Démonstration: Tout d'abord on montre le résultat pour un seul cycle, d'ordre .
Le centralisateur est alors tout simplement de cardinal ; il s'agit du sous-groupe engendré par ce cycle. Pour le voir on se ramène à un cycle ; pour que commute avec ce cycle, il faut que , c'est-à-dire que , donc que (on compte modulo ); on a donc un élément dans le centralisateur pour tout élément de .
On le généralise ensuite à cycles de même ordre .
Alors en se restreignant aux permutations laissant invariants chacun des supports, on a possibilités, on obtient donc . Mais il reste la possibilité d'intervertir les supports, il faut donc multiplier par . Il est clair que toutes les permutations ainsi construites sont bien dans le centralisateur; pour la réciproque, il suffit de supposer que et appartenant au support du même cycle (supposés de la forme , et qu'ils ne sont pas envoyés dans un même support; on constate alors que notre permutation ne saurait commuter avec notre produit de cycles.
On le généralise enfin au cas le plus général.
Facile! Il suffit de faire comme ci-dessus et de constater que quand deux supports ont pas la même taille il est impossible de mettre tous les éléments de l'un dans l'autre...

Théorème Si alors tout automorphisme de est un automorphisme intérieur. Démonstration: L'image d'une transposition par un automorphisme est d'ordre , et donc est un produit de cycles disjoints. Par la proposition le cardinal de son centralisateur est alors ; ce cardinal est aussi le cardinal du centralisateur de notre transposition initiale, donc . Si , on a une solution avec et , si , on a une seule solution pour . Donc l'image d'une transposition par est une transposition; donc par la proposition est un automorphisme intérieur.