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Groupe symétrique

Définition On appelle permutation d'un ensemble une bijection de cet ensemble sur lui-même.
On appelle support d'une permutation sur un ensemble tout élément de cet ensemble qui n'est pas invariant par cette permutation.
On appelle cycle d'un ensemble une bijection $ f$ telle qu'il existe $ a_1,...,a_n$ (en nombre fini et distincts) tels que $ f(a_i)=a_{i+1}$ pour $ i<n$, $ f(a_n)=a_1$ et $ f(b)=b$ si $ b$ n'est aucun des $ a_i$. $ n$ est l'ordre du cycle; il ne s'agit pas d'une définition, car cet ordre colle à la notion d'ordre sur les éléments d'un groupe. $ n$ est aussi appelé longueur du cycle (cette fois-ci c'est bien une définition!).
On appelle $ n$-cycle un cycle d'ordre $ n$.
On appelle transposition une permutation qui «échange» deux éléments. On note $ (a,b)$ la transposition qui échange $ a$ et $ b$. Une transposition est un cycle est longueur $ 2$.
On appelle groupe symétrique d'un ensemble $ E$ l'ensemble des permutations de cet ensemble.
On note $ \sigma _n$ et on appelle $ n$-ième groupe symétrique standard le groupe symétrique de $ \{1,2,...,n\}$. Tous les groupes symétriques sur des ensembles de cardinal $ n$ sont isomorphes à $ \sigma _n$.
Pour un $ n$ donné on appelle signature l'unique homomorphisme $ \epsilon$ de $ \sigma _n$ dans $ \{1,-1\}$ tel que $ \epsilon(\tau)=-1$ lorsque $ \tau$ est une permutation.
On appelle $ n$-ième groupe alterné le noyau de $ \epsilon$ (dans $ \sigma _n$). On le note $ U_n$.
On appelle matrice associée la permutation $ \sigma $ de $ \sigma _n$ la matrice $ M$ telle que $ M_{i,j}=\partial _{i,\sigma (j)}$.

Remarques et propriétés:
$ \bullet $On parle aussi, au lieu de $ n$-ième groupe symétrique standard, de groupe symétrique d'ordre $ n$; il faut bien voir que ce groupe n'est PAS d'ordre $ n$ mais d'ordre $ n!$.
$ \bullet $Pour bien faire il faudrait démontrer que l'on caractérise bien ici la signature. Cela serait fait dans la partie [*].

Proposition $ \bullet $ $ \vert\sigma _n\vert=n!$
$ \bullet $ $ Z(\sigma _n)=1$ si $ n \geq 3$.
$ \bullet $$ \sigma _n$ est engendré par les transpositions
$ \bullet $$ \sigma _n$ est engendré par les transpositions de la forme $ (a,a+1)$, avec $ a \in [1,n-1]$.
$ \bullet $$ \sigma _n$ est engendré par les transpositions de la forme $ (1,a)$, avec $ a \in [1,n]$.
$ \bullet $$ \sigma _n$ est engendré par la transposition $ (1,2)$ et le cycle $ (1,2,...,n)$.
$ \bullet $$ U_n$ est engendré par les cycles d'ordre $ 3$.
$ \bullet $Des cycles de supports disjoints commutent.

Proposition Soit $ p$ une permutation de $ E$ fini. L'orbite d'un point $ x$ pour $ p$ est l'ensemble des $ p^n(x)$ avec $ n\in \mathbb{N}$. $ p$ est un cycle s'il existe une orbite et une seule qui soit de cardinal $ >1$.

Démonstration: Si on a un cycle, il est clair qu'il existe une seule orbite de cardinal $ >1$; si on a une seule orbite dans ce cas, alors on considère les éléments de l'orbite, la suite est évidente.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Toute permutation peut s'écrire comme produit de cycles de supports deux à deux disjoints. La décomposition est unique à l'ordre près des facteurs. Démonstration:

Considérons une permutation $ \sigma $ de $ [1,n]$. L'unicité de sa décomposition sous la forme annoncée découle immédiatement de l'étude des orbites de l'action de $ \{Id,\sigma \}$ sur $ [1,n]$ (on considère ce qu'il se passe sur chaque orbite).

Pour l'existence, on se restreint aussi à une telle orbite. Il est clair que $ \sigma $ se comporte sur cette orbite comme un cycle. D'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Le centre de $ \sigma _n$ est trivial dès que $ n \geq 3$.

Démonstration: Soit $ \sigma $ élément non neutre de $ \sigma _n$. Il existe alors $ i$ tel que $ \sigma (i)=j \neq i$. On prend alors $ k$ différent à la fois de $ i$ et de $ j$, et on constate que $ \sigma \circ (j\ k) (i)\neq (j \ k)\circ \sigma (i)$$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \boxcircle$ La conjugaison dans $ \sigma _n$

On considère l'opération de $ \sigma _n$ sur $ \sigma _n$ par automorphisme intérieur, comme étudié en [*].

Proposition $ \bullet $Cette opération est transitive, et même $ k$ transitive pour tout $ k$. Elle est fidèle pour $ n \geq 3$, puisqu'alors le centre est trivial.
$ \bullet $Si on se limite à $ U_n$, cette opération est $ n-2$ fois transitive.

Démonstration: Le premier point est évident. Pour le second, on considère $ k\leq n-2$ éléments de $ \{1,...,n\}$, et on ajoute deux autres points; on considère la permutation qui affecte nos $ k$ points correctements, et qui, si la permutation obtenue est impaire, permute les deux points supplémentaires.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition $ \bullet $Pour tout $ m$, l'ensemble des cycles d'ordre $ m$ est une orbite (c'est à dire une classe de conjugaison).
$ \bullet $Si $ n \geq 5$ les cycles d'ordre $ 3$ sont conjugués dans $ U_n$.

Démonstration: Remarquons tout d'abord que si $ f=(x_1,...,x_k) \in \sigma _n$ et $ g \in \sigma _n$, alors $ g.f.g^{-1}=(g(x_1),..., g(x_k))$. Pour montrer le premier point, il suffit alors, étant donnés deux cycles de même longueur $ (x_0,...,x_k)$ et $ (y_0,...,y_k)$ de considérer la permutation $ p$ qui à $ x_i$ associe $ y_i$; on a bien $ p.x.p^{-1}=y$.
Le deuxième point est plus délicat, et utilise la proposition [*]. Etant donnés deux $ 3$-cycles $ (x_0,x_1,x_2)$ et $ (y_0,y_1,y_2)$, on considère la permutation $ p$ de $ U_n$ qui à $ x_i$ associe $ y_i$; on a bien $ x=p.y.p^{-1}$.$ \sqcap$$ \sqcup$


$ \boxcircle$ Les matrices de permutations

Définition L'application $ \phi$ qui à une permutation associe la matrice associée à cette permutation est un morphisme injectif dans $ GL_n(\mathbb{K})$ (ensemble des matrices inversibles de type $ (n,n)$).
On a la propriété $ \phi(s)^{-1}=\phi(\sigma ^{-1})= ^t\phi(\sigma )$.
Le déterminant de $ \phi(s)$ est égal à la signature de $ s$.


$ \boxcircle$ La signature

Proposition [Différentes caractérisations de la signature] On peut définir la signature $ \epsilon$ sur $ \sigma _n$ de l'une des façons suivantes:
1) On appelle inversion d'une permutation $ p$, une paire $ (i,j)$ d'éléments tels que $ (j-i).(p(j)-p(i))<0$. On définit $ \epsilon (p)=(-1)^{Inv(p)}$, avec $ Inv(p)$ le nombre d'inversions.
2) Il existe un unique morphisme $ \epsilon$ de $ \sigma _n$ sur $ \{-1,1\}$ tel que $ \epsilon (t)=-1$ si $ t$ est une permutation.
3) $ \epsilon (p)$ est égal à $ (-1)^s$ avec $ s$ le nombre de transpositions dans une décomposition de $ p$ en produit de transpositions.

Démonstration: Pas très très dur... Pour voir que $ 1$ entraine $ 2$ il faut voir que $ \epsilon (p)$ est le produit des $ \Pi_{i<j}\frac{p(j)-p(i)}{j-i}$, le reste est facile.$ \sqcap$$ \sqcup$
Il y a en outre une caractérisation de la signature, donnée en [*].


$ \boxcircle$ Simplicité de $ U_n$ pour $ n>4$; conséquences

Cette preuve est tirée de [14, p. 28], fort bon livre en algèbre, pour ceux qui connaissent déjà les bases du moins.
Théorème $ U_n$ est simple (i.e. sans sous-groupe distingué non trivial) si $ n \geq 5$.

Démonstration: On procède en deux étapes:
$ \bullet $Le cas $ n=5$
- Le groupe $ U_5$ se décompose en 60 éléments; l'identité, 15 éléménts d'ordre 2, qui sont des produits de deux transpositions disjointes, 20 éléments d'ordre 3, qui sont des 3-cycles, et 24 d'ordre 5, qui sont des 5-cycles. On va se préoccuper des classes de conjugaison de $ U_5$.
- les éléments d'ordre $ 2$ sont conjugués (facile).
- les $ 3$-cycles sont conjugués.
Supposons $ H$ sous-groupe de $ U_5$, et $ H \vartriangleleft\shortmid U_5$, et $ H \neq \{1\}$.
- S'il contient un élément d'ordre $ 3$ il les contient tous, puisqu'il est distingué et que les éléments d'ordre $ 3$ sont conjugués.
- S'il contient un élément d'ordre $ 2$ il les contient tous, puisqu'il est distingué et que les éléments d'ordre $ 2$ sont conjugués.
- S'il contient un éléments $ x$ d'ordre $ 5$, alors il contient aussi le $ 5$-Sylow engendré par $ x$ (voir les théorèmes de Sylow, [*]). Les $ 5$-Sylow étant tous conjugués, il les contient donc tous; tout élément d'ordre $ 5$ étant inclus dans un $ 5$-sylow, tout élément d'ordre $ 5$ est alors inclus dans $ H$.
- S'il contient donc un seul type d'éléments parmi les éléments ci-dessus en plus de l'unité, alors alors son cardinal serait soit $ 1+20$, soit $ 1+24$, soit $ 1+15$; or ces nombres ne divisent pas $ 60$. Donc il contient au moins deux types de ces éléments. Donc son cardinal est au moins $ 1+15+20$, et comme il divise $ 60$, $ H$ est en fait égal à $ U_5$. Le résultat est donc prouvé dans le cas de $ U_5$.
$ \bullet $Le cas $ n > 5$
- On considère $ H \vartriangleleft\shortmid U_n$, $ H \neq \{1\}$; on considère $ \sigma $ dans $ H$, $ \sigma \neq 1$.
- Par hypothèse on a un certain $ a$ tel que $ b = \sigma (a) \neq a$.
- on peut choisir $ c$ différent à la fois de $ a$, de $ b$ et de $ \sigma (b)$.
- on considère $ \tau$ le $ 3$-cycle $ (acb)$. $ \tau ^{-1}=abc$.
- On note $ \rho$ la permutation $ (\tau.\sigma .\tau^{-1}).\sigma ^{-1}=(acb)(\sigma .a,\sigma .b,\sigma .c)$.
- L'ensemble $ \{a,b,c,\sigma .a,\sigma .b,\sigma .c\}$ ayant au plus $ 5$ élément (car $ \sigma .a=b$), on le complète par des éléments quelconques pour avoir un ensemble $ F$ de $ 5$ éléments contenant $ \{a,b,c,\sigma .a,\sigma .b,\sigma .c\}$.
- $ \rho$ est l'identité en dehors de $ F$, et $ \rho(F)=F$.
- On constate que $ \rho$ est différent de l'identité car $ \rho(b) \neq b$.
- $ U_F$, ensemble des permutations paires de $ F$ est isomorphe à $ U_5$; on a un morphisme injectif $ \phi$ de $ U_F$ dans $ U_n$ en considérant pour une permutation $ t$ de $ U_F$ la permutation dont la restriction à $ F$ est $ t$ et la restriction à $ F^c$ est l'identité.
- On considère $ H'$ l'intersection de $ H$ et de $ U_F$.
- $ H'$ est distingué dans $ U_F$, clairement.
- il est clair que $ \rho_F$ appartient à $ U_F$, et que $ \rho_F$ n'est pas l'élément neutre.
- Par simplicité de $ U_F$, on sait alors que $ H'$ est égal à $ U_F$.
- On considère alors un $ 3$-cycle $ c$ de $ F$, il est dans $ H'$, donc $ \phi(c)$ est dans $ H$.
- $ H$ contient donc un $ 3$-cycle, or puisqu'il est distingué il contient aussi sa classe de conjugaison, donc il contient tous les $ 3$-cycles (les $ 3$-cycles étant tous conjugués). Donc il contient le groupe engendré par les $ 3$-cycles, c'est-à-dire $ U_n$.
Ceci termine la preuve.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire $ D(U_n)=U_n$ pour $ n \geq 5$ et $ D(\sigma _n)=U_n$ pour $ n\geq 2$.

Démonstration: $ \bullet $Première preuve (en utilisant le théorème):
$ D(U_n)$ est distingué, donc il ne saurait être plus petit que $ U_n$, puisque $ U_n$ est simple, donc $ D(U_n)=U_n$.
$ D(\sigma _n)$ est le sous-groupe engendré par les commutateurs de $ \sigma _n$, or il est clair que ces commutateurs appartiennent à $ U_n$ (considérer leurs signatures). Donc $ D(\sigma _n)$ est inclus dans $ U_n$, or puisqu'il est distingué, il ne saurait être inclus strictement.
$ \bullet $Deuxième preuve (élémentaire):
- on montre facilement que tout commutateur de $ \sigma _n$ est dans $ U_n$.
- on en déduit que $ D(U_n) \subset D(\sigma _n) \subset U_n$
- on montre alors que tout $ 3$-cycle de $ U_n$ s'écrit comme commutateur d'éléments de $ U_n$; en effet avec $ f$ un tel $ 3$-cycle, $ f$ et $ f^2$ sont conjugués dans $ U_n$ (vrai pour toute paire de $ 3$-cycles), donc $ f^2=t.f.t^{-1}$, et donc $ f=t.f.t^{-1}.f^{-1}$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Les sous-groupes distingués de $ \sigma _n$ sont $ \{1\},U_n,\sigma _n$.

Démonstration: Supposons $ H$ sous-groupe distingué de $ \sigma _n$.
$ \bullet $ $ H \cap U_n$ est égal à $ 1$ ou $ U_n$.
$ \bullet $Si $ H \cap U_n = U_n$, alors si $ H \neq U_n$, alors $ H$ contient un produit impair de transpositions; en multipliant par l'inverse du produit des transpositions sauf une on constate que $ H$ contient une transposition. Etant données deux transpositions, on constate qu'elles sont conjuguées par les éléments de $ U_n$; donc $ H$ contient en fait tout $ \sigma _n$.
$ \bullet $Si $ H \cap U_n =\{1\}$, alors $ \epsilon$ est un isomorphisme de $ H$ sur $ \epsilon (H)$. Donc $ H$ contient en fait un seul autre élément au plus. S'il en contient deux alors soit $ \tau$ l'autre élément; il doit commuter avec n'importe quel élément puisque $ H$ est distingué et puisque $ \tau$ n'est pas conjugué à l'unité; or le centre de $ \sigma _n$ est trivial.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Sois $ G$ un sous-groupe de $ \sigma _n$ d'indice $ n$. Alors $ G$ est isomorphe à $ \sigma _{n-1}$.

Démonstration: On rappelle que l'indice d'un sous-groupe, on appelle indice le cardinal du groupe quotient. Un sous-groupe d'indice $ n$ de $ \sigma _n$ est donc en fait un sous-groupe de cardinal $ (n-1)!$.
Le cas $ n \leq 4$ s'obtient facilement. Pour $ n \geq 5$, on constate que $ \sigma _n$ ou $ G$ opère à gauche sur l'ensemble quotient (par translation à gauche, voir [*]). On a donc un homomorphisme $ \phi$ de $ \sigma _n$ dans l'ensemble des permutations de $ \sigma _n/H$, qui est isomorphe à $ \sigma _n$.Il reste maintenant à voir que cet homomorphisme est injectif (le caractère surjectif se déduisant alors des cardinaux). Son noyau est l'intersection des $ a.G.a^{-1}$ pour $ a$ dans $ \sigma _n$, et donc il est de cardinal au plus le cardinal de $ G$, donc $ (n-1)!$; or il est distingué, et on a montré que les seuls sous-groupes distingués de $ \sigma _n$ étaient $ \{1\}$, $ U_n$ et $ \sigma _n$; donc il s'agit de $ 1$, d'où le résultat. $ \sqcap$$ \sqcup$

Admettons enfin sans preuve la proposition ci-dessous:

Proposition Si $ n \neq 4$ et $ n \neq 6$ tous les $ G$ vérifiant ces hypothèses sont conjugués. En fait, avec les mêmes hypothèses que ci-dessus, il existe $ i$ tel que $ G$ soit l'ensemble des permutations laissant $ i$ invariant.

$ \boxcircle$ Décomposition de $ \sigma _n$

On a une suite exacte

$\displaystyle { \atop 1 \rightarrow U_n \rightarrow \sigma _n}{\epsilon \atop \rightarrow}{\atop \{-1,1\} \rightarrow 1}$

avec $ \epsilon$ la signature. Avec $ \tau$ une transposition (c'est à dire une permutation de deux éléments) alors $ \{Id, \tau \}$ est un groupe qui est une section pour $ \epsilon$, donc on a

$\displaystyle \sigma _n \simeq U_n \rtimes \{\tau ,Id\} \simeq U_n \rtimes \{ -1 , 1 \} \simeq U_n \rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

En outre, $ \sigma _n$ est isomorphe à l'ensemble des automorphismes intérieurs lorsque $ n \geq 3$; en effet le centre est alors trivial. On verra plus bas que l'ensemble des automorphismes intérieurs est lui-même égal à l'ensemble des automorphismes lorsque $ n \neq 6$.


$ \boxcircle$ Automorphismes de $ \sigma _n$

$ \diamond$ Les automorphismes intérieurs sont des automorphismes

Les automorphismes intérieurs sont les automorphismes de la forme $ t \rightarrow u.\tau .u^{-1}$, avec $ u$ une permutation quelconque. Les automorphismes intérieurs forment un sous-groupe du groupe des automorphismes, de manière évidente.

$ \diamond$ Les automorphismes sont des automorphismes intérieurs lorsque $ n \neq 6$

$ \,$

Proposition Un automorphisme de $ \sigma _n$ transformant toute transposition en transposition est un automorphisme intérieur.

Démonstration: On considère les transpositions $ t_i=(1,i)$ pour $ i>1$. Ces transpositions engendrent toutes les transpositions. Il suffit donc de montrer que $ \phi$, qui transforme toutes ces transpositions en transpositions, coïncident avec un automorphisme intérieur.
Pour cela on constate que:
$ \bullet $les $ \phi(t_i)$ ne sont pas disjointes deux à deux.
$ \bullet $$ \phi(t_i)$ et $ \phi(t_j)$ ont même élément commun que $ \phi(t_i)$ et $ \phi(t_k)$.
$ \bullet $on peut donc noter $ \phi(t_i)$ sous la forme $ (z_1,z_i)$.
$ \bullet $$ z$ est la permutation recherchée, tel que l'automorphisme intérieur correspondant corresponde à $ \phi$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition On suppose $ n=1.k_1+2.k_2+...+n.k_n$ et que $ \sigma $ est une permutation produit de $ \sum_i k_i$ cycles disjoints, $ k_1$ d'ordre $ 1$, $ k_2$ d'ordre $ 2$, $ k_3$ d'ordre $ 3$, ... ,$ k_n$ d'ordre $ k_n$. Alors le cardinal du centralisateur de $ \sigma $ est égal à

$\displaystyle \vert c(s)\vert=\Pi_{i=1}^n k_i!.i^{k_i}$

Démonstration: $ \bullet $Tout d'abord on montre le résultat pour un seul cycle, d'ordre $ n$.
Le centralisateur est alors tout simplement de cardinal $ n$; il s'agit du sous-groupe engendré par ce cycle. Pour le voir on se ramène à un cycle $ (1,2,...,n)$; pour que $ \tau$ commute avec ce cycle, il faut que $ \tau (n+1)=\tau (n)+1$, c'est-à-dire que $ \tau (n+1)-\tau (n)=1$, donc que $ \tau (n)=\tau (0)+n$ (on compte modulo $ n$); on a donc un élément dans le centralisateur pour tout élément de $ [1,n]$.
$ \bullet $On le généralise ensuite à $ k$ cycles de même ordre $ i$.
Alors en se restreignant aux permutations laissant invariants chacun des supports, on a $ i$ possibilités, on obtient donc $ i^k$. Mais il reste la possibilité d'intervertir les supports, il faut donc multiplier par $ k!$. Il est clair que toutes les permutations ainsi construites sont bien dans le centralisateur; pour la réciproque, il suffit de supposer que $ a$ et $ a+1$ appartenant au support du même cycle (supposés de la forme $ (j,j+1,..,j+i-1)$, et qu'ils ne sont pas envoyés dans un même support; on constate alors que notre permutation ne saurait commuter avec notre produit de cycles.
$ \bullet $On le généralise enfin au cas le plus général.
Facile! Il suffit de faire comme ci-dessus et de constater que quand deux supports ont pas la même taille il est impossible de mettre tous les éléments de l'un dans l'autre...$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Si $ n \neq 6$ alors tout automorphisme de $ \sigma _n$ est un automorphisme intérieur. Démonstration: L'image d'une transposition par un automorphisme $ \phi$ est d'ordre $ 2$, et donc est un produit de $ k$ cycles disjoints. Par la proposition [*] le cardinal de son centralisateur est alors $ 2^k.k!.(n-2.k)!$; ce cardinal est aussi le cardinal du centralisateur de notre transposition initiale, donc $ 2.(n-2)!$. Si $ n=6$, on a une solution avec $ n=6$ et $ k=3$, si $ n \neq 6$, on a une seule solution pour $ k=1$. Donc l'image d'une transposition par $ \phi$ est une transposition; donc par la proposition [*] $ \phi$ est un automorphisme intérieur.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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