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Groupes en géométrie


$ \boxcircle$ Groupe diédral $ D_n$

Définition [Groupe diédral] On appelle groupe diédral d'ordre $ n$ et on note $ D_n$ le groupe des isométries du plan conservant un polygone régulier à $ n$ côtés. Il contient $ 2.n$ éléments, comme on pourra s'en convaincre en distinguant le cas $ n$ pair et le cas $ n$ impair; $ n$ rotations et $ n$ symétries.
On note $ R_n$ l'ensemble des $ n$ rotations de $ D_n$.

Proposition On a $ R_n \vartriangleleft\shortmid D_n$, et donc

$\displaystyle { \atop 1 \rightarrow R_n \rightarrow \mathbb{D}_n}{p \atop \rightarrow}{\atop \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\rightarrow 1}$

en effet $ D_n$ étant d'ordre $ 2.n$, le quotient de $ D_n$ par $ R_n$ est d'ordre $ 2$, et ne peut donc être qu'isomorphe à $ \mathbb{Z}/2.\mathbb{Z}$.
Etant donnée $ r \in D_n \setminus R_n$, $ \{r,Id\}$ fournit une section; donc on a $ D_n = R_n \rtimes \{r,Id\}$, donc $ D_n \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

On pourra consulter la partie [*] pour plus d'informations sur le groupe diédral.



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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