Tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique.
sous-groupe de
monogène ou dense.
Démonstration:Considérer l'inf de
.
Il existe des sous-groupes denses de
de type fini.
Démonstration:
L'union de deux sous-groupes est un groupe si et seulement si l'un est inclus dans l'autre.
Le produit élément par élémentde deux sous-groupes et est un sous-groupe si et seulement si .
Démonstration:: Supposons que soit un sous-groupe. Alors soit et .
donc
admet un inverse dans donc , donc
, donc
, donc , donc
Réciproquement, supposons ,
alors l'inverse de ,
, appartient bien à ; en outre il est immédiat que est stable par produit.
L'image d'un sous-groupe distingué par un homomorphisme est un sous-groupe distingué de l'image de l'homomorphisme. L'image réciproque d'un sous-groupe distingué par un homomorphisme est un sous-groupe distingué.
L'intersection de deux sous-groupes distingués est un sous-groupe distingué.
Tout sous-groupe d'un groupe abélien est distingué; mais on peut avoir cette propriété sans que le groupe soit abélien; considérer par exemple
, muni des opérations
(notons que ce groupe possède aussi la propriété de n'avoir que des sous-groupes propres abéliens).
Tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique
sous-groupe de
.
de type fini
et 
est un sous-groupe si et seulement si 
.
soit un sous-groupe. Alors soit 
et 
.
donc
admet un inverse dans 
, donc
, donc
, donc 
, donc
, appartient bien à 
, muni des opérations
(notons que ce groupe possède aussi la propriété de n'avoir que des sous-groupes propres abéliens).
