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Sous-groupes

$ \bullet $Tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique.

$ \bullet $$ G$ sous-groupe de $ (\mathbb{R},+)$ $ \rightarrow$$ G$ monogène ou dense.
Démonstration: Considérer l'inf de $ \mathbb{R}^+ \cap G$.$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \bullet $Il existe des sous-groupes denses de $ \mathbb{R}$ de type fini.
Démonstration: $ \mathbb{Z}+\sqrt{2}\mathbb{Z}$$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \bullet $L'union de deux sous-groupes est un groupe si et seulement si l'un est inclus dans l'autre.

$ \bullet $Le produit élément par élémentde deux sous-groupes $ A$ et $ B$ est un sous-groupe si et seulement si $ AB=BA$.
Démonstration: : Supposons que $ AB$ soit un sous-groupe. Alors soit $ a\in A$ et $ b\in B$. $ a^{-1}b^{-1} \in AB \rightarrow ba \in AB$ donc $ BA \subset AB$
$ ab$ admet un inverse dans $ AB$ donc $ a'b'ab=1$, donc $ b'ab=a'^{-1}$, donc $ ab=b'^{-1}a'^{-1}$, donc $ ab \in BA$, donc $ AB \subset BA$
Réciproquement, supposons $ AB=BA$, alors l'inverse de $ ab$, $ b^{-1}a^{-1}$, appartient bien à $ AB$; en outre il est immédiat que $ AB$ est stable par produit.$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \bullet $L'image d'un sous-groupe distingué par un homomorphisme est un sous-groupe distingué de l'image de l'homomorphisme. L'image réciproque d'un sous-groupe distingué par un homomorphisme est un sous-groupe distingué.

$ \bullet $L'intersection de deux sous-groupes distingués est un sous-groupe distingué.

$ \bullet $Tout sous-groupe d'un groupe abélien est distingué; mais on peut avoir cette propriété sans que le groupe soit abélien; considérer par exemple $ \{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}$, muni des opérations $ ij=k, ji=-k,jk=i,kj=-i,ki=j,ik=-j$ (notons que ce groupe possède aussi la propriété de n'avoir que des sous-groupes propres abéliens).


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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