Montrer que
n'est pas de type fini.
Démonstration:Considérer un nombre fini d'éléments de
, et un dénominateur commun
de ces éléments.
L'ensemble des automorphismes de
muni de la composition est isomorphe à
.
Un sous-groupe additif de
est soit dense, soit de la forme
. De même,
muni de la multiplication n'admet que des sous-groupes denses ou de la forme
.
Démonstration:Considérer la borne de l'intersection du sous-groupe et de
. Le cas multiplicatif s'obtient en considérant le , qui est un isomorphisme de groupe, et qui préserve la densité.
dans
est de la forme
si est rationnel, et dense si est irrationnel.
Dans un groupe, 
; montrer que 
.
n'est pas de type fini.
muni de la composition est isomorphe à
.
est soit dense, soit de la forme
. De même,
muni de la multiplication n'admet que des sous-groupes denses ou de la forme
.
de l'intersection du sous-groupe et de
, qui est un isomorphisme de groupe, et qui préserve la densité.
dans
est de la forme
est rationnel, et dense si 
