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$ \bullet $Dans un groupe, $ (ab)^n=1$; montrer que $ (ba)^n=1$.

$ \bullet $Montrer que $ \mathbb{Q}$ n'est pas de type fini.
Démonstration: Considérer un nombre fini d'éléments de $ \mathbb{Q}$, et un dénominateur commun de ces éléments.$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \bullet $L'ensemble des automorphismes de $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ muni de la composition est isomorphe à $ (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\times)$.

$ \bullet $Un sous-groupe additif de $ \mathbb{R}$ est soit dense, soit de la forme $ a.\mathbb{Z}$. De même, $ \mathbb{R}^{+*}$ muni de la multiplication n'admet que des sous-groupes denses ou de la forme $ a^\mathbb{Z}$.
Démonstration: Considérer la borne $ inf$ de l'intersection du sous-groupe et de $ \mathbb{R}^{+*}$. Le cas multiplicatif s'obtient en considérant le $ log$, qui est un isomorphisme de groupe, et qui préserve la densité.$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \bullet $ $ \mathbb{Z}+b\mathbb{Z}$ dans $ (\mathbb{R},+)$ est de la forme $ a.\mathbb{Z}$ si $ b$ est rationnel, et dense si $ b$ est irrationnel.



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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