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Zoologie sur les matrices et leurs déterminants

Définition [Matrice circulante] On appelle matrice circulante associé au $ n$-uple $ (x_1,...,x_n)$ la matrice $ M$ définie par $ M_{i,j}=x_{j-i \mbox{ (modulo $n$) }}$, c'est à dire

$\displaystyle M=\left(\begin{array}{ccccc}
x_1 & x_2 & x_3 & \dots & x_n \\
x_...
...ots & \ddots & \vdots \\
x_2 & x_3 & x_4 & \dots & x_1 \\
\end{array}\right)
$


Proposition L'ensemble des matrices circulantes de type $ (n,n)$ est engendré par la matrice suivante:

$\displaystyle M=\left( \begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & 1...
...& 0 \\
0 & 0 & 0 & \ddots & 1 \\
1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
\end{array}\right)$


Démonstration: Il suffit de voir que la matrice circulante associée à $ (x_1,...,x_n)$ est la matrice

$\displaystyle x_1.M^0+x_2.M^1+...+x^n.M^{n-1}$

et le résultat est acquis.$ \sqcap$$ \sqcup$



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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