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Polynômes de Lagrange

On considère l'espace $ E=\mathbb{R}_n[X]$ des polynômes à une indéterminée et de degré au plus $ n$. Soit $ a_0$, ... , $ a_n$ des réels deux à deux distincts. On définit $ n+1$ formes linéaires sur $ E$ par $ f_i(P)=P(a_i)$.

Proposition Les polynômes de Lagrange $ f_i$ forment une base de $ E$.

Démonstration: Puisque la dimension de $ E$ est égale à la dimension de $ E^*$, il suffit de voir que la famille est de rang $ n+1$, ce qui est vérifié si et seulement si l'espace vectoriel dual est de dimension 0. Supposons qu'un certain polynôme $ P$ appartienne à cet orthogonal, alors il s'annule en $ a_0$, ... ,$ a_n$; donc il est nul, puisqu'il est de degré au plus $ n$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Les polynômes de lagrange $ (f_i)$ sont la base duale des $ P_i$, avec

$\displaystyle P_i(x)=\Pi_{j\neq i} \frac{X-a_j}{a_i-a_j}$


Démonstration: Facile, il suffit de vérifier que $ P_i(a_j)=\partial _{i,j}$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire [Interpolation de Lagrange] On en déduit notamment que tout polynôme de degré $ n$ s'écrit comme combinaison linéaire des $ P_i$, les coefficients étant donnés par les $ f_i$. C'est-à-dire que tout $ P$ de degré $ \leq n$ s'écrit

$\displaystyle P=\sum_{i=1}^n f_i(P) P_i$


Un exemple d'utilisation Maple:



Exemple Maple


$ > interp([0,1,2,3],[exp(0),exp(1),exp(2),exp(3)],x);$

$\displaystyle {{\displaystyle \frac {1}{6}} e^{3}x^{3} - {\displaystyle \frac {...
...isplaystyle \frac {1}{6} } x^{3} + x^{2}} - {\displaystyle \frac {11}{6}} x + 1$

Il est intéressant de tracer ensuite la courbe exponentielle et les graphes des interpolations à différents ordres superposées.






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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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