On considère l'espace
des polynômes à une indéterminée
et de degré au plus . Soit , ... , des réels deux à deux distincts.
On définit formes linéaires sur par
.
Proposition
Les polynômes de Lagrange forment une base de .
Démonstration:
Puisque la dimension de est égale à la dimension de , il suffit
de voir que la famille est de rang , ce qui est vérifié si et seulement
si l'espace vectoriel dual est de dimension 0. Supposons qu'un certain polynôme
appartienne à cet orthogonal, alors il s'annule en , ... ,; donc il
est nul, puisqu'il est de degré au plus .
Proposition
Les polynômes de lagrange sont la base duale des ,
avec
Démonstration:Facile, il suffit de vérifier que
.
Corollaire [Interpolation de Lagrange]
On en déduit notamment que tout polynôme de degré s'écrit comme combinaison linéaire
des , les coefficients étant donnés par les . C'est-à-dire que tout de degré
s'écrit
Un exemple d'utilisation Maple:
Exemple Maple
Il est intéressant de tracer ensuite la courbe exponentielle et les graphes des interpolations à différents ordres superposées.
![$ E=\mathbb{R}_n[X]$](/d/c/b/img13.png){kind=small}
des polynômes à une indéterminée
et de degré au plus 
. Soit 
, ... , 
des réels deux à deux distincts.
On définit 
formes linéaires sur 
par
.
forment une base de 
, il suffit
de voir que la famille est de rang 
appartienne à cet orthogonal, alors il s'annule en 
sont la base duale
,
avec
.
s'écrit
![$ > interp([0,1,2,3],[exp(0),exp(1),exp(2),exp(3)],x);$](/d/c/b/img28.png){kind=small}
