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Définition d'un sous-espace vectoriel par une famille d'équations

Proposition Soit $ F$ un sous-espace vectoriel de $ E$ de dimension $ p$, $ E$ espace vectoriel de dimension finie $ n$. Alors il existe $ n-p$ formes linéaires linéairement indépendantes $ f_i$ telles que $ F=\{x / \forall i  f_i(x)=0\}$ c'est à dire que $ F$ s'exprime comme intersection de $ n-p$ hyperplans. Il est en outre impossible de définir $ F$ comme intersection de moins de $ n-p$ hyperplans.

Démonstration: Pour voir qu'une telle famille existe, il suffit de considérer une base de $ F$ et sa base duale. Pour vérifier qu'on ne peut faire moins, il suffit de considérer que pour tout $ G$ sous-espace vectoriel de $ E$ et tout $ H$ hyperplan de $ E$ on a $ dim (G \cap H) \geq dim G - 1$ (par la formule $ dim G + dim H = dim (G+H) + dim (G\cap H)$)$ \sqcap$$ \sqcup$



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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