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Approximation de fonctions holomorphes par des fractions rationnelles

Lemme Soit $ K$ un compact de $ \mathbb{C}$, inclus dans un ouvert $ \Omega$. Alors il existe $ \Gamma _1,\Gamma _2,...,\Gamma _n$ des segments orientés dans $ \Omega \setminus K$ tels que pour toute fonction holomorphe $ f$ sur $ \Omega$ et pour tout $ k$ dans $ K$

$\displaystyle f(z)=\sum_{l=1}^n \frac1{2i\Pi} \int_{\Gamma _l} \frac{f(t)}{t-z}dt$


Démonstration:

Lemme [Intuitif pour les topologistes dans l'âme!] Il existe $ \eta>0$ tel que la distance entre un point $ k$ de $ K$ à un point du complémentaire de $ \Omega$ soit toujours $ >\eta$.

Démonstration:

$ \bullet $En effet sinon on pourrait construire une suite de points $ (k_n)_{n\in \mathbb{N}}$ de $ K$ à distance $ \leq 1/n$ de $ X \setminus K$.

$ \bullet $On pourrait alors extraire une suite convergente (par le théorème [*], puisque $ \mathbb{C}$ est muni d'une topologie métrique!), et le point limite serait à une distance 0 du fermé complémentaire de $ \Omega$, et serait donc dans $ K$ sans être dans $ \Omega$; ce qui est contradictoire.$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \bullet $On construit alors une grille recouvrant le compact $ K$, avec un maillage inférieur à $ \eta/2$, comme indiqué sur la figure [*].

Figure: Un maillage.
\begin{figure}\begin{displaymath}
\epsfxsize =6cm
\epsfbox{maillage.eps}\end{displaymath}\end{figure}

$ \bullet $On considère alors les contours $ \gamma _1$, ... , $ \gamma _p$, orientés positivement, des carrés $ C_1,...,C_{p/4}$ intersectant $ K$.

$ \bullet $On conserve alors seulement les segments des contours qui ne sont parcourus qu'une fois; les autres étant parcourus deux fois, une fois dans chaque sens.

$ \bullet $On note ces segments orientés $ \Gamma _1$, ... , $ \Gamma _n$.

$ \bullet $On se donne alors $ f$ holomorphe sur $ \Omega$, et $ z$ à l'intérieur de l'un des carrés du maillage, $ z\in K$. La fonction $ g$ qui à $ t$ appartenant à la réunion des $ \gamma _l$ associe $ \frac{f(t)-f(z)}{t-z}$ est continue.

$ \bullet $On calcule alors

$\displaystyle \sum_{l=1}^n \frac1{2i\Pi} \int_{\Gamma _l} \frac{g(t)}{t-z}dt$

$ \bullet $Cette somme est égale à

$\displaystyle \sum_{l=1}^p \frac1{2i\Pi} \int_{\gamma _l} \frac{g(t)}{t-z}dt$

$ \bullet $Par le lemme [*], étendu au cas d'un carré, on en déduit que la somme est nulle.

$ \bullet $Donc

$\displaystyle \sum_{l=1}^n \frac1{2i\Pi} \int_{\Gamma _l} \frac{f(t)}{t-z}dt$

$\displaystyle =\sum_{l=1}^n \frac1{2i\Pi} \int_{\Gamma _l} \frac{f(z)}{t-z}dt$

$\displaystyle =f(z) \sum_{l=1}^n \frac1{2i\Pi} \int_{\Gamma _l} \frac1{t-z}dt$

$\displaystyle =f(z)$

$ \bullet $Il ne reste qu'à prolonger par continuité pour avoir le résultat souhaité.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème [Runge, version faible, lemme pour la version forte] Soit $ K$ un compact de $ \mathbb{C}$, inclus dans un ouvert $ \Omega$.

Soit $ Z$ une partie de $ \mathbb{C}$ contenant au moins un point dans chaque composante connexe de $ \mathbb{C}\cup \{ \infty \} \setminus K$.

Alors l'ensemble des fractions rationnelles dont les pôles sont inclus dans $ Z$ est dense dans l'ensemble des fonctions holomorphes sur $ \Omega$, pour la topologie de la convergence uniforme sur $ K$.

Démonstration:

$ \bullet $Soit $ FR$ l'ensemble des fractions rationnelles dont les zéros sont inclus dans $ Z$.

$ \bullet $D'après le corollaire [*], il suffit de montrer que toute forme linéaire continue nulle sur toutes les fractions rationnelles de $ FR$ est nulle sur toute application holomorphe sur $ \Omega$.

$ \bullet $D'après le théorème de représentation de Riesz, il nous suffit donc de montrer qu'étant donnée une mesure de Borel complexe $ \mu$ sur $ K$ telle que l'intégrale pour $ \mu$ sur $ K$ de tout élément de $ FR$ soit nulle, l'intégrale sur $ K$ pour $ \mu$ de $ f$ holomorphe est nulle.

$ \bullet $Soit donc une telle mesure complexe $ \mu$, et $ f$ holomorphe sur $ \Omega$.

$ \bullet $Définissons, pour $ t\in \mathbb{C}\cup \{ \infty \} \setminus K$,


$\displaystyle h(t)=\int_K \frac{d\mu(k)}{k-t}$     (1.1)

$ \bullet $$ h$ est holomorphe, au vu de la proposition [*].

$ \bullet $Soit $ z$ dans $ Z$ et n'appartenant pas à $ K$; notons $ V_z$ la composante connexe de $ \mathbb{C}\cup \{ \infty \} \setminus K$ contenant $ z$. On va montrer que $ h$ est nulle sur cette composante connexe; pour cela, par le théorème [*], il sera suffisant de montrer que $ h$ est nulle sur un voisinage de $ z$.

- Supposons tout d'abord $ z = \infty$. L'objectif est donc de montrer que pour $ t$ assez grand en module, $ h(t)=0$.

Ecrivons, pour $ k$ dans $ K$ et $ t$ quelconque,

$\displaystyle \frac{k-t}=-\frac1k \frac1{1-k/t}=-\sum_{l=0}^\infty \frac{k^n}{t^{n+1}}$

La convergence étant uniforme en $ k$ pour $ t$ suffisamment grand, on peut alors intervertir l'intégrale et la somme dans l'équation [*] et on obtient bien $ h(t)=0$.

- Supposons maintenant que $ z\neq \infty$

Ecrivons, pour $ k$ dans $ K$ et $ t$ quelconque,

$\displaystyle \frac1{k-t}=\frac1{(k-z)-(t-z)}=\frac1{k-z}\frac{1}{1-\frac{t-z}{k-z}}$

$\displaystyle =\sum_{l=0}^\infty \frac{(t-z)^l}{(k-z)^{l+1}})$

La convergence étant uniforme en $ k$ pour $ t$ suffisamment proche de $ z$, on peut alors intervertir l'intégrale et la somme dans l'équation [*] et on obtient bien $ h(t)=0$.

$ \bullet $On applique alors le lemme [*], pour pouvoir exprimer $ f$ comme une intégrale sur un contour hors de $ K$:

$\displaystyle \int_K fd\mu = \int_K \frac1{2i\Pi} \sum_l \int_{\Gamma _l} \frac{f(t)}{t-k}dt d\mu(k)$

Et par Fubini [*],

$\displaystyle =\frac1{2i\Pi} \sum_l \int_{\Gamma _l} f(t)\int_K \frac{1}{t-k}d\mu(k) dt$

$\displaystyle =-\frac1{2i\Pi} \sum_l \int_{\Gamma _l} f(t) h(t) dt$

$\displaystyle =0$

D'où le résultat tant attendu!$ \sqcap$$ \sqcup$

On peut facilement passer à la topologie de la convergence uniforme sur tout compact.

En outre, le cas où $ K$ est simplement connexe (i.e. son complémentaire a une seule composante connexe) donne lieu à un corollaire important.

Corollaire [Corollaire important] $ \bullet $Si $ f$ est une fonction holomorphe définie sur un ouvert $ \Omega$, si $ Z$ est un ensemble contenant au moins un point dans chaque composante connexe de $ \hat C\setminus \Omega$, alors $ f$ est dans l'adhérence de l'ensemble des fractions rationelles à pôles dans $ Z$ pour la topologie de la convergence uniforme sur tout compact.

$ \bullet $Si $ f$ est une fonction holomorphe définie sur un ouvert simplement connexe $ \Omega$, alors il existe une suite de polynômes convergeant uniformément vers $ f$ sur tout compact.

Démonstration:

$ \bullet $On définit les $ K_n$ comme dans le lemme [*], et on définit $ F_n$ comme étant une fraction rationnelle tel que $ \vert f(z)-F_n(z)\vert\leq 1/n$ pour $ z$ dans $ K_n$.

$ \bullet $Dans le deuxième cas, on peut simplement imposer $ Z=\{\infty\}$, et on obtient bien une suite de polynômes.$ \sqcap$$ \sqcup$


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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