Définition
Un endomorphisme est dit semi-simple si tout sous-espace vectoriel stable par a un supplémentaire
stable par .
Théorème
On se place en dimension finie.
On suppose semi-simple; on note le polynôme caractéristique de .
avec les irréductibles et premiers à .
.
On va montrer qu'en fait .
En outre on montrera que réciproquement si tous les sont égaux à , alors est semi-simple.
Démonstration: avec
On va montrer que pour tout .
Par l'absurde .
admet un supplémentaire -stable. Donc
avec -stable.
donc
Les inclusions sont en fait des égalités puisque la dimension est finie.
On considère
.
; si alors
serait dans l'idéal annulateur. Impossible car
, donc
.
On a donc :
Soit
avec
et
.
Donc
donc
.
donc (car est irréductible)
.
Donc
est nilpotent, donc pas injectif, or
d'où une contradiction.
Réciproquement:
On suppose
Alors
avec
stable
il suffit de trouver un supplémentaire stable dans de
. Or
donc on est ramené au cas ou est irréductible.
Soit alors non réduit à 0 et différent de , stable par .
Soit
.
est un idéal non nul engendré par unitaire différent de . divise donc parce que est irréductible.
Soit le degré de .
est une base de
.
donc
, donc
.
Si
alors
donc
.
Or
(par C.H.) , d'où contradiction, donc
. On a donc
avec stable,
. Si
on recommence; en un nombre fini d'étapes on conclut.
En résumé:
Pour montrer qu'un endomorphisme semi-simple admet pour polynôme simple un produit de polynômes irréductibles:
On considère le polynôme minimal, avec ses facteurs et leurs exposants .
On suppose
.
On considère un supplémentaire de
-stable.
On considère
, et on note que est la somme directe des intersections de avec les .
On considère
; on montre que n'est pas réduit à 0.
On considère dans
On décompose sur
et ; on en déduit
que
On sait alors que
est injectif, mais pourtant nilpotent, d'où contradiction.
Pour montrer l'existence d'un supplémentaire stable pour tout sous-espace stable à partir d'un endomorphisme ayant un produit de polynômes irréductibles distincts pour polynôme minimal:
On se ramène à un polynôme minimal irréductible en considérant les restrictions aux .
On considère un espace stable , et un élément or de cet espace.
On considère le polynôme qui engendre l'ensemble des polynômes tels que ; ce polynome divise le polynome minimal de et lui est donc égal puisque ce dernier est irréductible.
On considère alors l'espace engendré par les images successives de par des puissances de ; cet espace est engendré par les premiers éléments avec le degré de .
On en déduit que est de dim .
On considère alors le polynôme caractéristique de restreint à ; si ce dernier espace est non nul, alors ce polynôme est égal à , or son degré est plus petit que par application de Cayley-Hamilton, donc la somme de et est directe. Il ne reste qu'à récurer pour avoir un supplémentaire de .