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Endomorphismes semi-simples

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Endomorphismes semi-simples

Définition Un endomorphisme est dit semi-simple si tout sous-espace vectoriel stable par a un supplémentaire stable par .

Théorème On se place en dimension finie.
On suppose semi-simple; on note $\mu_u$ le polynôme caractéristique de .
$\mu_u=\Pi_{i=1}^p P_i^{n_i}$ avec les irréductibles et premiers à .
$n_i\geq 1$ .
On va montrer qu'en fait .
En outre on montrera que réciproquement si tous les sont égaux à , alors est semi-simple.

Démonstration: $E=\oplus_{i=1}^p E_i$ avec $E_i=Ker P_i(u)^{n_i}$

On va montrer que pour tout .
Par l'absurde $n_1\geq 2$ . admet un supplémentaire -stable. Donc $Ker P_1(u) \oplus F = E$ avec -stable.

$\displaystyle F=\oplus_{i=1}^p (E_i \cap F)$

donc

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} E = & \underbrace{Ker P_1(u) \oplus (E_1\... ...\bigcap \\ E = & E_1 & \oplus & \oplus_{i=2}^p E_i \end{array}\end{displaymath}$

Les inclusions sont en fait des égalités puisque la dimension est finie. On considère $F'=E_1 \cap F$ . $E_1=Ker P_1(u) \oplus F'$ ; si $F'=\{0\}$ alors $P_1.\Pi_{i=2}^p P_i^{n_i}$ serait dans l'idéal annulateur. Impossible car $n_1\geq 2$ , donc $F' \neq \{ 0 \}$ .

On a donc : $P_1^{n_1}(u_{\vert F'})=0$
Soit $x \in E_1 \setminus Ker P_1^{n_1-1}(u)$
avec $x_1 \in Ker P_1(u)$ et $x_2 \in F'$ .

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} P_1^{n_1-1}(u)(x)= & \underbrace{P_1^{n_1-... ...^{n_1-1}(u)(x_2)\\ & 0 \mbox{ car $n_1 \geq 2$} & \end{array}\end{displaymath}$

Donc $P_1^{n_1-1}(u)(x_2) \neq 0$ donc $P_1^{n_1-1}(u_{\vert F'}) \neq 0$ .
donc (car est irréductible) $\mu_{u_{\vert F'}}=P_1^{n_1}$ .

Donc $P_1(u_{\vert F'})$ est nilpotent, donc pas injectif, or $Ker P_1(u) \cap F'=\{0\}$ d'où une contradiction.

Réciproquement:
On suppose $\mu_u=\Pi_{i=1}^p P_i$

Alors $E=\oplus_{i=1}^p E_i$ avec

stable $\rightarrow$ $F=\oplus_{i=1}^p (F\cap E_i)$

il suffit de trouver un supplémentaire stable dans de $F \cap E_i$ . Or $\mu_{u_{\vert E_i}}=P_i$ donc on est ramené au cas ou $\mu_u$ est irréductible.

Soit alors non réduit à 0 et différent de , stable par .
Soit $x \in E \setminus F$ . $\{ Q \in \mathbb{K}[X] \vert Q(u)(x)=0\}$ est un idéal non nul engendré par unitaire différent de . divise $\mu_u$ donc $P=\mu_u$ parce que $\mu_u$ est irréductible.

Soit le degré de $\mu_u$ . $(x,u(x),...,u^{m-1}(x))$ est une base de $G=Vect_{i \in \mathbb{N}} u^i(x)$ .

$x \not \in F$ donc $F \cap G \neq G$ , donc $dim F\cap G < m$ .

Si $F \cap G \neq \{ 0 \}$ alors $\mu_{u_{\vert F\cap G}} \vert \mu_u$ donc $\mu_{u_{\vert F\cap G}} = \mu_u$ .

Or $deg \mu_{u_{\vert F \cap G}} \leq$ (par C.H.) $dim F\cap G < m =deg \mu$ , d'où contradiction, donc $F \cap G=\{ 0 \}$ . On a donc $F \oplus G$ avec stable, $G \neq \{ 0 \}$ . Si $F+G \neq E$ on recommence; en un nombre fini d'étapes on conclut. $\sqcap$ $\sqcup$

En résumé:
Pour montrer qu'un endomorphisme semi-simple admet pour polynôme simple un produit de polynômes irréductibles:
$\bullet$ On considère le polynôme minimal, avec ses facteurs et leurs exposants .
$\bullet$ On suppose $n_1\geq 2$ .
$\bullet$ On considère un supplémentaire de -stable.
$\bullet$ On considère $E_i=Ker P_i^{n_i}(u)$ , et on note que est la somme directe des intersections de avec les .
$\bullet$ On considère $F'=E_1 \cap F$ ; on montre que n'est pas réduit à 0.
$\bullet$ On considère dans $E_1 \setminus Ker P_1^{n_1-1}(u)$
$\bullet$ On décompose sur et ; on en déduit que $P_1^{n_1-1}(u_{\vert F'})\not=0$
$\bullet$ On sait alors que $\mu_{u_{\vert F'}}=P_1^{n_1}$
$\bullet$ $P_1(u_{\vert F'})$ est injectif, mais pourtant nilpotent, d'où contradiction.

Pour montrer l'existence d'un supplémentaire stable pour tout sous-espace stable à partir d'un endomorphisme ayant un produit de polynômes irréductibles distincts pour polynôme minimal:
$\bullet$ On se ramène à un polynôme minimal irréductible en considérant les restrictions aux .
$\bullet$ On considère un espace stable , et un élément or de cet espace.
$\bullet$ On considère le polynôme qui engendre l'ensemble des polynômes tels que ; ce polynome divise le polynome minimal de $\mu$ et lui est donc égal puisque ce dernier est irréductible.
$\bullet$ On considère alors l'espace engendré par les images successives de par des puissances de ; cet espace est engendré par les premiers éléments avec le degré de $\mu$ .
$\bullet$ On en déduit que $F \cap G$ est de dim .
$\bullet$ On considère alors le polynôme caractéristique de restreint à $F \cap G$ ; si ce dernier espace est non nul, alors ce polynôme est égal à $\mu_u$ , or son degré est plus petit que par application de Cayley-Hamilton, donc la somme de et est directe. Il ne reste qu'à récurer pour avoir un supplémentaire de .