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Endomorphismes semi-simples

Définition Un endomorphisme $ f$ est dit semi-simple si tout sous-espace vectoriel stable par $ f$ a un supplémentaire stable par $ f$.

Théorème On se place en dimension finie.
On suppose $ u$ semi-simple; on note $ \mu_u$ le polynôme caractéristique de $ u$.
$ \mu_u=\Pi_{i=1}^p P_i^{n_i}$ avec les $ P_i$ irréductibles et premiers $ 2$ à $ 2$.
$ n_i\geq 1$.
On va montrer qu'en fait $ n_i=1$.
En outre on montrera que réciproquement si tous les $ n_i$ sont égaux à $ 1$, alors $ u$ est semi-simple.

Démonstration: $ E=\oplus_{i=1}^p E_i$ avec $ E_i=Ker P_i(u)^{n_i}$

On va montrer que pour tout $ i$ $ n_i=1$.
Par l'absurde $ n_1\geq 2$. $ Ker P_1(u)$ admet un supplémentaire $ u$-stable. Donc $ Ker P_1(u) \oplus F = E$ avec $ F$ $ u$-stable.

$\displaystyle F=\oplus_{i=1}^p (E_i \cap F)$

donc

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
E = & \underbrace{Ker P_1(u) \oplus (E_1\...
...\bigcap \\
E = & E_1 & \oplus & \oplus_{i=2}^p E_i
\end{array}\end{displaymath}

Les inclusions sont en fait des égalités puisque la dimension est finie. On considère $ F'=E_1 \cap F$. $ E_1=Ker P_1(u) \oplus F'$; si $ F'=\{0\}$ alors $ P_1.\Pi_{i=2}^p P_i^{n_i}$ serait dans l'idéal annulateur. Impossible car $ n_1\geq 2$, donc $ F' \neq \{ 0 \}$.

On a donc : $ P_1^{n_1}(u_{\vert F'})=0$
Soit $ x \in E_1 \setminus Ker P_1^{n_1-1}(u)$
$ x= x_1 + x_2 $ avec $ x_1 \in Ker P_1(u)$ et $ x_2 \in F'$.

\begin{displaymath}\begin{array}{ccc}
P_1^{n_1-1}(u)(x)= & \underbrace{P_1^{n_1-...
...^{n_1-1}(u)(x_2)\\
& 0 \mbox{ car $n_1 \geq 2$} & \end{array}\end{displaymath}

Donc $ P_1^{n_1-1}(u)(x_2) \neq 0$ donc $ P_1^{n_1-1}(u_{\vert F'}) \neq 0$.
donc (car $ P_1$ est irréductible) $ \mu_{u_{\vert F'}}=P_1^{n_1}$.

Donc $ P_1(u_{\vert F'})$ est nilpotent, donc pas injectif, or $ Ker P_1(u) \cap F'=\{0\}$ d'où une contradiction.

Réciproquement:
On suppose $ \mu_u=\Pi_{i=1}^p P_i$

Alors $ E=\oplus_{i=1}^p E_i$ avec $ E_i=Ker P_i(u)$

$ F$ stable $ \rightarrow$ $ F=\oplus_{i=1}^p (F\cap E_i)$

il suffit de trouver un supplémentaire stable dans $ E_i$ de $ F \cap E_i$. Or $ \mu_{u_{\vert E_i}}=P_i$ donc on est ramené au cas ou $ \mu_u$ est irréductible.

Soit alors $ F$ non réduit à 0 et différent de $ E$, stable par $ u$.
Soit $ x \in E \setminus F$. $ \{ Q \in \mathbb{K}[X] \vert Q(u)(x)=0\}$ est un idéal non nul engendré par $ P$ unitaire différent de $ 1$. $ P$ divise $ \mu_u$ donc $ P=\mu_u$ parce que $ \mu_u$ est irréductible.

Soit $ m$ le degré de $ \mu_u$. $ (x,u(x),...,u^{m-1}(x))$ est une base de $ G=Vect_{i \in \mathbb{N}} u^i(x)$.

$ x \not \in F$ donc $ F \cap G \neq G$, donc $ dim F\cap G < m$.

Si $ F \cap G \neq \{ 0 \}$ alors $ \mu_{u_{\vert F\cap G}} \vert \mu_u$ donc $ \mu_{u_{\vert F\cap G}} = \mu_u$.

Or $ deg \mu_{u_{\vert F \cap G}} \leq$    (par C.H.) $ dim F\cap G < m =deg \mu$, d'où contradiction, donc $ F \cap G=\{ 0 \}$. On a donc $ F \oplus G$ avec $ G$ stable, $ G \neq \{ 0 \}$. Si $ F+G \neq E$ on recommence; en un nombre fini d'étapes on conclut.$ \sqcap$$ \sqcup$

En résumé:
Pour montrer qu'un endomorphisme semi-simple admet pour polynôme simple un produit de polynômes irréductibles:
$ \bullet $On considère le polynôme minimal, avec ses facteurs $ P_i$ et leurs exposants $ n_i$.
$ \bullet $On suppose $ n_1\geq 2$.
$ \bullet $On considère un supplémentaire $ F$ de $ Ker P_1(u)$ $ u$-stable.
$ \bullet $On considère $ E_i=Ker P_i^{n_i}(u)$, et on note que $ F$ est la somme directe des intersections de $ F$ avec les $ E_i$.
$ \bullet $On considère $ F'=E_1 \cap F$; on montre que $ F'$ n'est pas réduit à 0.
$ \bullet $On considère $ x$ dans $ E_1 \setminus Ker P_1^{n_1-1}(u)$
$ \bullet $On décompose $ x$ sur $ Ker P_1(u)$ et $ F'$; on en déduit que $ P_1^{n_1-1}(u_{\vert F'})\not=0$
$ \bullet $On sait alors que $ \mu_{u_{\vert F'}}=P_1^{n_1}$
$ \bullet $ $ P_1(u_{\vert F'})$ est injectif, mais pourtant nilpotent, d'où contradiction.

Pour montrer l'existence d'un supplémentaire stable pour tout sous-espace stable à partir d'un endomorphisme ayant un produit de polynômes irréductibles distincts pour polynôme minimal:
$ \bullet $On se ramène à un polynôme minimal irréductible en considérant les restrictions aux $ E_i$.
$ \bullet $On considère un espace stable $ F$, et un élément $ x$ or de cet espace.
$ \bullet $On considère le polynôme qui engendre l'ensemble des polynômes $ Q$ tels que $ Q(u)(x)=0$; ce polynome divise le polynome minimal de $ \mu$ et lui est donc égal puisque ce dernier est irréductible.
$ \bullet $On considère alors $ G$ l'espace engendré par les images successives de $ x$ par des puissances de $ u$; cet espace est engendré par les $ m$ premiers éléments avec $ m$ le degré de $ \mu$.
$ \bullet $On en déduit que $ F \cap G$ est de dim $ <m$.
$ \bullet $On considère alors le polynôme caractéristique de $ u$ restreint à $ F \cap G$; si ce dernier espace est non nul, alors ce polynôme est égal à $ \mu_u$, or son degré est plus petit que $ m$ par application de Cayley-Hamilton, donc la somme de $ F$ et $ G$ est directe. Il ne reste qu'à récurer pour avoir un supplémentaire de $ F$.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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