1) Définition
Une opération (à gauche) d'un groupe G sur un ensemble E est une application
vérifiant les deux propriétés :
E, x=x, e désignant l'élément neutre de G
2) Orbites
L'opération définit sur E une relation d'équivalence par :
.
Les classes d'équivalence sont appelées les orbites.
Le choix du mot orbite est un clin d'oeil à un exemple facile d'opération de groupe, où E est le plan affine euclidien et G le groupe des rotations autour d'un centre O donné, avec (r,M)r(M).
Les orbites sont alors les cercles concentriques, de centre O.
3) Stabilisateur d'un élément
Pour tout x dans E, on considère S(x)=
;
S(x) est un sous-groupe de G, appelé stabilisateur de x.
4) Une première formule de dénombrement
Si G est un groupe fini et si désigne l'orbite de x, alors :
Démonstration
Pour un élément y de , soit C
.
Si est un élément particulier de C, on peut définir la bijection: C
,
.
Donc Card(C)=Card(S(x))
Et :
5) Théorème de Burnside-Frobenius
Soit l'ensemble des orbites.
Pout tout élément de G, on pose : A
Alors :