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Des rappels sur les actions de groupe

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Des rappels sur les actions de groupe

1) Définition
Une opération (à gauche) d'un groupe G sur un ensemble E est une application $f:G\times E \longrightarrow E (\sigma,x)\rightarrow \sigma.x$ vérifiant les deux propriétés :

$\forall x\in$ E, x=x, e désignant l'élément neutre de G
$\forall (\sigma,\tau)\in G^2,\, \sigma.(\tau .x)=(\sigma \tau).x$

$\,$

2) Orbites
L'opération définit sur E une relation d'équivalence par : $x\simeq y \Leftrightarrow \exists \sigma \in G, \, y=\sigma.x$ . Les classes d'équivalence sont appelées les orbites. Le choix du mot orbite est un clin d'oeil à un exemple facile d'opération de groupe, où E est le plan affine euclidien et G le groupe des rotations autour d'un centre O donné, avec (r,M) $\rightarrow$ r(M). Les orbites sont alors les cercles concentriques, de centre O.

3) Stabilisateur d'un élément
Pour tout x dans E, on considère S(x)= $\lbrace \sigma \in G / \sigma . x = x \}$ ; S(x) est un sous-groupe de G, appelé stabilisateur de x.

4) Une première formule de dénombrement
Si G est un groupe fini et si $\omega(x)$ désigne l'orbite de x, alors :

$\begin{displaymath}Card(G)=Card(\omega(x))\times Card (S(x))\end{displaymath}$

Démonstration Pour un élément y de $\omega(x)$ , soit C $_y=\{\sigma \in G / \sigma . x=y\}$ . Si $\tau$ est un élément particulier de C, on peut définir la bijection: C $_y \longrightarrow S(x)$ , $\sigma \rightarrow \tau^{-1}\sigma$ .
Donc Card(C)=Card(S(x))
Et :

$\begin{displaymath}Card(G)=\displaystyle{\sum_{y\in\omega(x)} Card(C_y)=\sum_{y \in \omega(x)} Card(S(x))=Card(\omega(x))\times Card(S(x))}\end{displaymath}$

5) Théorème de Burnside-Frobenius
Soit $\Omega$ l'ensemble des orbites.
Pout tout élément $\sigma$ de G, on pose : A $_\sigma=\{x\in E / \sigma . x=x \}$ Alors :

$\begin{displaymath}Card(\Omega)={{1}\over{Card(G)}}\displaystyle{\sum_{\sigma\in G} Card(A_\sigma)}.\end{displaymath}$

Démonstration Soit U= $\{(\sigma,x)\in G\times E/ \sigma.x=x\}$ .

$\begin{displaymath}Card(U)=\displaystyle{\sum_{\sigma\in G} Card(A_\sigma)}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\displaystyle{\sum_{x\in E} Card(S(x))=\sum_{\sigma\in G} \s... ...{Card(G))}\over{Card(\omega)}}=\sum_{\omega\in \Omega} Card(G)}\end{displaymath}$