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Application au problème des roulettes

Si l'on interdit aux roulettes de tourner, le problème est facile : il y a c$^n$ coloriages possibles.
Soit E l'ensemble de ces coloriages.
On fait opérer sur E le groupe cyclique G engendré par une rotation d'ordre n.
La réponse au problème est le nombre d'orbites, qui sera fourni par le théorème de Burnside-Frobenius.
Il reste à calculer Card(A$_\sigma$) pour toute rotation $\sigma$ du groupe G. L'ordre d'un élément $\sigma$ du groupe G est un diviseur d de n. Le groupe cyclique engendré par $\sigma$ opère sur l'ensemble des n secteurs et définit n/d orbites. Pour qu'un coloriage de E appartienne à A$_\sigma$ , il faut et il suffit que les secteurs d'une même orbite soient d'une même couleur. Il s'agit donc de choisir une couleur pour chaque orbite et: Card(A$_\sigma$)=c$^{n/d}$. Le nombre de rotation d'ordre d est $\varphi$(d) , où $\varphi$ désigne l'indicateur d'Euler. La formule de Burnside-Frobenius donne finalement :

\begin{displaymath}Card(\Omega)={1\over n}\displaystyle{\sum_{d\vert n} \varphi(d).c^{n/d}}.\end{displaymath}




Pierre_Renfer_les-mathematiques
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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