Si l'on interdit aux roulettes de tourner, le problème est facile : il y a c coloriages possibles.
Soit E l'ensemble de ces coloriages.
On fait opérer sur E le groupe cyclique G engendré par une rotation d'ordre n.
La réponse au problème est le nombre d'orbites, qui sera fourni par le théorème de Burnside-Frobenius.
Il reste à calculer Card(A) pour toute rotation du groupe G.
L'ordre d'un élément du groupe G est un diviseur d de n.
Le groupe cyclique engendré par opère sur l'ensemble des n secteurs et définit n/d orbites.
Pour qu'un coloriage de E appartienne à A , il faut et il suffit que les secteurs d'une même orbite soient d'une même couleur.
Il s'agit donc de choisir une couleur pour chaque orbite et: Card(A)=c.
Le nombre de rotation d'ordre d est (d) , où désigne l'indicateur d'Euler.
La formule de Burnside-Frobenius donne finalement :