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Application au problème des colliers

Là encore, le problème est facile si l'on interdit les rotations et retournement du collier : Il y a alors c$^n$ coloriages posibles.
On fait opérer sur l'ensemble E de ces coloriages le groupe diédral D$_n$ des isométries conservant un polygone régulier à n sommets, qui contient les n rotations comme pour les roulettes et n symétries axiales. Pour les symétries, on est amené à discuter suivant la parité de n.
1) Cas où n est impair
C'est le cas le plus facile : pour toute symétrie $\sigma$, l'axe passe par une perle et les (n-1) autres perles se répartissent en (n-1)/2 paires contenant deux perles symétriques. Pour un élément de A$_\sigma$, il s'agit de choisir la couleur de la perle de l'axe et les couleurs des (n-1)/2 paires ; donc : La formule de Burnside-Frobenius donne finalement :

\begin{displaymath}Card(\Omega)={1\over{2n}}(\displaystyle{\sum_{d\vert n} \varphi(d).c^{n/d}+n.c^{(n+1)/2}}).\end{displaymath}


2) Cas où n est pair
Il existe alors deux types de symétries : celles dont l'axe ne passe par aucune perle et celles dont l'axe passe par deux perles.
Si $\sigma$ est une symétrie du premier type, il s'agit, pour un élément de A$_\sigma$ , de choisir la couleur des n/2 paires de deux perles symétriques ; donc :Card(A$_\sigma$)=c$^{n/2}$. Si $\sigma$ est une symétrie du second type, il s'agit, pour un élément de A$_\sigma$, de choisir la couleur des deux perles de l'axe et des (n-2)/2 paires de deux perles symétriques ; donc : Card(A$_\sigma$)=c$^{(n+2)/2}$ Le groupe diédral contient n/2 symétries de chaque type. La formule de Burnside-Frobenius donne finalement :

\begin{displaymath}Card(\Omega)={1\over{2n}}(\displaystyle{\sum_{d\vert n} \varphi(d).c^{n/d}+{n\over 2}.c^{n/2}+{n\over 2}.c^{(n+2)\over 2}}).\end{displaymath}



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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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