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Théorème de Cauchy

Théorème de Cauchy Soit (G,.) un groupe fini et p un diviseur premier de l'ordre de G. Alors il existe un élément d'ordre p dans G.
Démonstration Soit p un diviseur premier de |G|. Considérons l'ensemble

$\displaystyle X=\lbrace (x_1,...,x_p)\in \underbrace{G\times...\times G}_{p fois};x_1.x_2. ... .x_p=e \rbrace$

où e désigne le neutre de G. Pour choisir un élément x de X, nous devons faire p-1 choix d'éléments dans G, donc le cardinal de X est |G| $^{p-1}$ . On fait agir

${\mathbb{Z}}$ /p ${\mathbb{Z}}$ sur X de la façon suivante: (On commettra sans aucun scrupule l'abus de notation qui consiste à identifier la classe d'équivalence de i $\in$ ${\mathbb{Z}}$ et l'élément de ${\mathbb{Z}}$ compris entre 0 et p-1 qui est un représentant de cette classe d'équivalence. Autrement dit, on ne sera pas gêné par l'égalité $\overline i$ =k où k est le représentant de $\overline i$ qui est compris entre 0 (compris) et p (non compris)). Si x est l'élément (x,...,x) de X et si $\overline i$ est la classe d'équivalence de i (0 $\leq$ i<p) dans ${\mathbb{Z}}$ /p ${\mathbb{Z}}$ , alors $\overline i$ .x=(x $_{\overline{1+i}}$ ,...,x $_{\overline{p+i}}$ ). On vérifie sans peine que ceci définit bien une action

sur X. Supposons que G ne possède aucun élément d'ordre p

.
Remarquons que l'orbite

de (e,...,e) $\in$ X n'a qu'un élément. Si un autre élément x de X n'a que lui même dans son orbite, alors en particulier,

$\displaystyle x=(x_{\overline{1}},...,x_{\overline{p}})= (x_{\overline{1+1}},...,x_{\overline{p+1}})=(x_2,...,x_p,x_1)=(x_3,...,x_1,x_2)=...$

Et donc x

=...=x

et x

$^{p}$ =e, ce qui implique que G possède un élément x

d'ordre p et est contraire à notre hypothèse de départ. On suppose donc que (e,...,e) est le seul élément de X possèdant une orbite ne contenant que lui même. Si x est un élément de X, |w(x)| est alors un diviseur de | ${\mathbb{Z}}$ /p ${\mathbb{Z}}$ |=p différent de 1. Comme p est premier, ceci implique que |w(x)|=p. Choisissons alors des éléments x de X dont les orbites respectives partitionnent X. La formule des classes

nous donne:

$\displaystyle \vert X\vert=\vert X^G\vert+\sum_{x partitionnant X} \vert w(x)\vert.$

Donc |X| est de la forme 1+m.p où m désigne le nombre d'orbites de taille plus grande que 1 et partitionnant X. Ceci contredit le fait que |X| est de cardinal |G| $^{p-1}$ qui est divisible par p. Nous venons alors de démontrer par l'absurde que G possèdait au moins un élément d'ordre p