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Théorèmes de Sylow

Définition On dit que le groupe fini (G,.) est un p-groupe si p est premier et si le cardinal de G est une puissance de p.

Proposition Si G est un p-groupe agissant sur un ensemble X et si X$^{G}$= $\lbrace x\in X; \forall g\in G, g.x=x \rbrace$ alors on a:

$\displaystyle \vert X\vert\equiv \vert X^G\vert (mod p)$


Démonstration Soient x$_1$,...,x$_k$ des éléments de X tels que $\lbrace$ X$^{G}$,w(x$_1$),...,w(x$_k$) $\rbrace$ définit une partition de X. X$^{G}$ est en fait l'ensemble des éléments de X dont l'orbite est constituée d'un unique point. On suppose donc que pour tout i=1,...,k |w(x$_i$)|>1. Comme |w(x$_i$)| est un diviseur de |G|=p$^{\alpha}$ et que p est premier, |w(x$_i$)| est de la forme p $^{\alpha'}$ avec $\alpha'\geq$1. Donc p divise |w(x$_i$)| pour tout i=1,...,k. Mais comme X est la réunion disjointe des éléments de $\lbrace$ X$^{G}$,w(x$_1$),...,w(x$_k$) $\rbrace$ alors son cardinal est la somme des cardinaux de tout ces éléments et comme p divise chaque |w(x$_i$)|, |X|$\equiv$X$^{G}$ (mod p).

Définition Soit G un groupe de cardinal n=p$^\alpha$.m avec p premier et p ne divisant pas m. On dit que le sous groupe H de G est un p-Sylow de G si |H|=p$^\alpha$.

Voici un exemple de p-Sylow.

Proposition Soit le corps fini IF$^{p}$$\simeq$ $ {\mathbb{Z}}$/p $ {\mathbb{Z}}$( p est un nombre premier). Considérons l'ensemble des matrices inversibles de rang n à coefficient dans IF$^{p}$. Cet ensemble, noté GLn(IF$^{p}$), est un groupe de cardinal m.p $^{{n(n-1)\over 2}}$ où m et n sont des entiers non nuls. Si l'on note T le sous ensemble de GLn(IF$^{p}$) des matrices triangulaires supérieures de rang n, à coefficients dans IF$^{p}$ et à éléments diagonaux tous égaux à 1, alors T est un p-Sylow de GLn(IF$^{p}$).

Démonstration On ne démontrera pas que GLn(IF$^{p}$) est un groupe. Ceci est un résultat de base d'algèbre linéaire. On ne démontrera pas non plus que T est un sous groupe de GLn(IF$^{p}$) car c'est relativement facile. Calculons par contre le cardinal de GLn(IF$^{p}$). Etudions la première colonne d'une matrice de GLn(IF$^{p}$). On peut choisir n'importe quelle valeur pour les éléments de cette colonne. La seule éventualité à éviter est que tout les éléments de cette colonne soient nuls simultanément. Cela nous fait donc p$^{n}$-1 possibilités pour cette première colonne. Etudions maintenant la deuxième colonne. Les éléments de cette colonne peuvent prendre n'importe quelles valeurs. Les seules conditions à vérifier sont que cette colonne ne soit pas dépendante de la première et qu'elle ne soit pas nulle. Il y a p-1 colonnes possibles dépendantes de la première et qu'une colonne nulle possible. Cela nous fait alors p$^{n}$-p possibilités pour la deuxièmre colonne. De même, par récurrence, on établit qu'il y a p$^{n}$-p$^{k}$ possibilités pour la k$^{ième}$ colonne. Donc |GLn(IF$^{p}$)|=(p$^{n}$-1)(p$^{n}$-p)...(p$^{n}$-p$^{n-1}$). Ce cardinal peut se re-écrire sous la forme: p.p$^{2}$...p$^{n-1}$.(p$^{n}$-1)(p$^{n-1}$-1)...(p-1)=p $^{1+2+...+n-1}$.(p$^{n}$-1)(p$^{n-1}$-1)...(p-1)=p $^{{n(n-1)\over 2}}$.(p$^{n}$-1)(p$^{n-1}$-1)...(p-1)
Donc, en posant m égal à la partie du produit précédent qui est après le premier facteur, on vient de montrer que |GLn(IF$^{p}$)|=m.p $^{{n(n-1)\over 2}}$.
Calculons maintenant le cardinal de T. Pour cela remarquons qu'il y a p$^{n-1}$ choix possibles pour la première ligne, p$^{n-k}$ choix possibles pour la k$^{ième}$ ligne. Au total, cela nous fait p.p$^{2}$...p$^{n-1}$ choix possibles pour une matrice de T. Ceci prouve que |T|=p $^{{n(n-1)\over 2}}$ et que T est un p-Sylow de GLn(IF$^{p}$).

Avant d'énoncer les théorèmes de Sylow, démontrons le lemme suivant qui nous sera fort utile pour la suite.

Lemme Soit G un groupe de cardinal n, p un diviseur premier de n tel que n=p$^\alpha$.m et p ne divisant pas m, soit H un sous groupe de G et S un p-sylow de G. Alors il existe g dans G tel que g.S.g$^{-1}\cap$H soit un p-sylow de H.

Démonstration Considérons le quotient G/S qui est en fait l'ensemble des classes à gauche de G relativement au sous groupe S: G/S= $\lbrace a.H ;a\in G\rbrace$. G agit sur G/S par translation à gauche: g.aS=(ga)S.

L'élément g$\in$ G est élément du stabilisateur de aS si et seulement si g.aS=aS. C'est à dire si et seulement si g est élément de aSa$^{-1}$. Réciproquement, on montre que si g est élément de aSa$^{-1}$ alors g $\in$Stab(aS).
H agit sur G/S par restriction de l'action de G. Le stabilisateur d'un élément aS pour cette nouvelle action est alors de la forme aSa$^{-1}\cap$H.

S étant un p-Sylow de G, |S|=p$^{\alpha}$. Comme aSa$^{-1}$ est un sous groupe conjugué de S, il a même cardinal que S. De plus, comme H est un sous groupe de G, son cardinal est, d'après le théorème de Lagrange, de la forme m'.p $^{\alpha'}$ où m' divise m et où $\alpha'\leq \alpha$. L'intersection de deux sous groupes d'un groupe est encore un sous groupe. Donc aSa$^{-1}\cap$H est un sous groupe de G. C'est de plus un sous groupe de H et de S. Son cardinal, toujours d'après le théorème de Lagrange, divise à la fois p$^{\alpha}$ et m'.p $^{\alpha'}$. Il est donc de la forme p $^{\alpha''}$$\alpha''$ est à la fois plus petit (ou égal) à $\alpha$ et à $\alpha'$. Notons que $\alpha$ dépend à priori de a. Supposons que pour tout a dans G, $\alpha''(a)<\alpha'$. Cette hypothèse revient à supposer que aSa$^{-1}\cap$H n'est jamais un p-Sylow de H. Alors, comme l'orbite d'un élément aS de G/S par l'action de H vérifie la formule |w(aS)|=|H|/|Stab(aS)| et que Stab(aS)=aSa$^{-1}\cap$H, on a |w(aS)|=m'.p $^{\alpha'-\alpha''}$. Comme pour tout a de G, on a supposé que $\alpha''(a)<\alpha'$ alors p divise |w(aS)| et ce $\forall a\in$G.
Mais $\lbrace w(aS);a\in G \rbrace$ définit une partition de G/S. La réunion de toutes ces orbites est égale à G/S. Le cardinal de G/S est donc divisible par p. Mais ceci est impossible car d'après le théorème de Lagrange |G/S|=m qui n'est pas divisible par p.
Nous avons donc abouti à une contradiction. Ceci nous permet d'affirmer qu'il existe un élément a de G tel que aSa$^{-1}\cap$H est un p-Sylow de H.

Théorème (Premier théorème de Sylow) Si G est un groupe de cardinal n et que n vérifie n=p$^\alpha$.m avec p premier et p ne divisant pas m, alors G possède un p-Sylow.

Démonstration Soit G un groupe comme dans l'énoncé du théorème. Le théorème de Cayley nous permet d'affirmer l'existence d'un morphisme injectif de G dans le groupe symétrique à n éléments Sn. Mais on a une injection évidente de Sn dans GLn(IF$^{p}$): a toute permutation $\phi$ de Sn, on fait correspondre l'application linéaire f définie par : si (ei)$_{i=1..n}$ est une base de (IF$^{p)}$$^n$ alors f(ei)=e $_{\phi(i)}$.
On réalise ainsi une injection de G dans GLn(IF$^{p}$). Ainsi, l'image d'un groupe par un morphisme étant un sous groupe du groupe d'arrivée du morphisme, et notre morphisme étant injectif (et surjectif sur son image) G est isomorphe à un sous groupe H de GLn(IF$^{p}$). De plus, comme on l'a vu dans l'exemple précédent, GLn(IF$^{p}$) possède un p-Sylow S. D'après le lemme précédent, il existe alors un élément a de GLn(IF$^{p}$) tel que aSa$^{-1}$$\cap$H est un p-Sylow de H. H contient donc un p-Sylow. Ce p-Sylow se transporte par l'application inverse de notre isomorphisme vers un p-Sylow du groupe G. Cqfd.

Théorème Soit G un groupe de cardinal n, n vérifiant n=p$^\alpha$.m avec p premier et p ne divisant pas m. G contient, d'après le premier théorème de Sylow, un ou des p-Sylow.

  • (Second théorème de Sylow) Les p Sylow de G sont tous conjugués. De plus, leur nombre k divise n.
  • (Troisième théorème de Sylow) Le nombre k de p-Sylow dans G vérifie: k $\equiv$ 1 (mod p).
$ $
Démonstration Considérons ${\cal A}=\lbrace S_1,...,S_k \rbrace$ l'ensemble des p Sylow de G. D'après le premier lemme de ce paragraphe, pour tout i=1..k, il existe un élément a de G tel que aS$_1$a$^{-1}$$\cap$S$_i$ soit un p-Sylow de S$_i$. Mais en raison de ce fait et des cardinaux respectifs de aS$_1$a$^{-1}$ et de S$_i$, on en déduit que aS$_1$a$^{-1}$=S$_i$. On démontre ainsi que tout les p-Sylow sont conjugués.
Remarquons à ce stade de la démonstration que si un p-Sylow est normal dans le groupe qui le contient, alors nécessairement, il est l'unique p-Sylow de ce groupe.
Faisons maintenant agir G par conjugaison sur $\cal A$: g.S$_i$=gS$_i$g$^{-1}$. Cette action est , avec ce qui vient d'être établi, bien définie. De plus, comme tout les p-sylow de G sont conjugués, cette action n'engendre qu'une et une seule orbite sur $\cal A$. Comme le cardinal de l'orbite d'un point par une action est un diviseur du cardinal du groupe définissant cette action, on en déduit que k est un diviseur du cardinal de G.
S$_1$ agit de même sur $\cal A$ par restriction de l'action de G sur $\cal A$.
Etudions le sous ensemble $\cal A$$^{S_1}$ de $\cal A$. S$_i$ est un élément de $\cal A$$^{S1}$ si et seulement si pour tout g de S$_1$, g.S$_i$.g$^{-1}$ est inclus dans S$_i$. Si on considère le sous groupe H de G engendré par S$_i$ et S$_1$, on en déduit que S $_i\triangleleft$H. Mais S$_i$ et S$_1$ sont deux p-Sylow de H. Donc, d'après la remarque faite précédemment, ceci implique que ces deux p-Sylow n'en forment qu'un: S$_1$=S$_i$. Le seul p-Sylow contenu dans $\cal A$$^{S_1}$ est donc S$_1$. Mais S$_1$ est un p groupe. Donc d'après la proposition établie tout au début de ce thème, $\vert\cal A\vert\equiv\vert\cal A$$^{S_1}$|=1 (mod p). Donc k$\equiv$1 (mod p), Cqfd.

Voici un corollaire immédiat de ce qui vient d'être démontré.

Corollaire Soit G un groupe de cardinal n, n vérifiant n=p$^\alpha$.m avec p premier et p ne divisant pas m. Soit k le nombre de p-Sylow dans G. Alors k divise m et k est premier avec p.

Démonstration Cela découle directement des deux théorèmes précédents.

Remarquons avant d'en terminer avec ce thème que le premier théorème de Sylow implique le théorème de Cauchy.

Merci à Alain Debreil pour ses précieuses remarques et corrections.


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E_Vieillard-Baron
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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