monter: PEUT-ON ATTRIBUER UNE PARITE
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Proposition Préliminaire ensembliste
Une bijection f de E sur F transforme une partition de E en paires, en une
partition de F en paires.
Démonstration L'image par  d'une paire d'éléments de 
est une paire d'éléments de  vu que est injective.De plus 2 paires disjointes de
auront pour images 2 paires disjointes de toujours à cause de l'injectivité de .
Alors une partition de en paires aura pour image par
un ensemble de paires de disjointes deux à deux et de réunion (vu la surjectivité de
)i.e.une partition de en paires .
Par conséquent si 2 ensembles sont équipotents et que l' un admet une partition
en paires alors l'autre aussi admet une partition en paires.
Définition
Un cardinal sera dit pair si et seulement si un ensemble qui le représente admet
une partition en paires.Dans le cas contraire le cardinal sera dit impair.
Vu le préliminaire cette définition ne dépend pas de l'ensemble choisi pour
représenter le cardinal et justifie ainsi la parité d' un cardinal.
Exemple:card
 est pair car les paires  pour
 à  forment bien une partition de  .
Théorème 1
Quand on retire (ou ajoute) un élément à un ensemble infini on
n'altère pas la parité de son cardinal.
Ce théorème est bien sûr faux si l'ensemble est fini.
Démonstration Soit un ensemble infini,il contient donc une partie dénombrable que l' on peut
exprimer sous la forme d'une suite d'éléments distincts  .Posons
 et
 définie par
 pour tout
 et  pour tout  .
Montrons que est une bijection et le théorème sera prouvé car et
 seront alors équipotents donc ils auront des cardinaux de la même parité.
est bijective
En effet
si
 il existe un antécédent unique:
et si  y admet un antécedent unique:
Théorème 2
tout cardinal transfini est pair
Soit un ensemble infini,on va montrer qu'il admet une partition en paires.
Notons
 l'ensemble des paires de et
 l'ensemble des parties de
formées de paires disjointes.Ce dernier ensemble ordonné par la relation 
est inductif  car toute chaîne(sous-ensemble totalement ordonné) de
admet un majorant dans cet ensemble.
En effet soit  une telle chaîne elle admet pour majorant
 (preuve un peu plus loin)
Pour y voir clair travaillons avec l'exemple 
 est un élément de 
 est un élément de
mais pas
 car les 2 paires ne sont pas disjointes
 est une chaîne à 3 maillons (soulignés) de
majorée par la réunion(dans
 des 3 maillons qui est encore égal à l'
ensemble de toutes les paires figurant dans les 3 maillons soit
Retour à la situation générale.
est bien formé de paires disjointes sinon on aurait 2 paires
 ayant un élément commun.Or  appartient à un maillon 
 C et  appartient à un maillon  .Comme est une chaîne et  sont
comparables ,on a par exemple  mezalors les 2 paires appartiendraient à
qui par définition n'est formé que de paires disjointes d'où la contradiction.
Finalement
 et il est
clair que c'est un majorant de la chaîne .L'inductivité de
 est donc acquise.
En vertu de l'axiome( ou théorème si on admet l'axiome du choix)de ZORN on en
déduit que
admet un élément maximal  alors
 est un ensemble maximal de paires de disjointes d'où si on
considère la
réunion  de toutes ces paires on obtient soit soit privé d'un
élément sinon aurait au moins 2 éléments :a et b de plus que .On pourrait
alors considérer une nouvelle paire disjointe de toutes celles de
et ainsi
 contredirait la maximalité de
dans
dès lors
si  alors est une partition de en paires et card()
est pair.
et si  est égal à privé d'un élément  alors est une partition
en paires de
 d'où card(
 est pair mais
d'après le théorème 1 card()=card(
donc card() est pair ce qui
achève la preuve du théorème 2.
Autrement dit
Théorème Tout ensemble infini admet une partition en paires.
Ceci entraîne que tout ensemble infini admet une involution sans point fixe qui à
tout élément x fait correspondre l'autre élément de l'unique paire de la partition
qui contient x.
Quelques ensembles infinis avec preuves concrètes de leur parité:
card( )est pair car card( card( (théorème 1)
et l'ensemble des paires formées de 2 réels non nuls opposés est une partition en
paires de 
card(
 est pair si est un ensemble infini car l'ensemble des paires
formées par une partie de et sa complémentaire est une partition de
 en paires.
Si est fini c'est encore vrai car card(
 si card()=n
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