Somme de variables aléatoires et transformée de Fourier
Définition [Produit de convolution]
On appelle produit de convolution de deux lois de probabilités indépendantes et sur
la loi sur
définie par
Proposition [Propriétés fondamentales du produit de convolution]
Si et sont deux variables aléatoires réelles indépendantes de lois et :
La loi de est
Pour toute fonction mesurable de
dans
,
Démonstration:
avec
Et le premier point en découle; le deuxième point découle de la commutativité
de l'addition, et le troisième point est une application immédiate du théorème
de transport.
Proposition [Liste de propriétés du produit de convolution]
On se donne , et des variables aléatoires réelles et , et leurs lois.
Le produit de convolution de la loi par une masse de Dirac située1.3 en 0 est la loi elle-même.
Le produit de convolution de par une masse de Dirac située en est la loi de .
Le produit de convolution est commutatif, associatif.
Le produit de convolution est distributif, en un sens bien précis; pour dans , on a:
Démonstration:Les trois premiers sont évidents, au vu de la proposition précédente.
Le quatrième vient simplement du fait que
est bien une loi de probabilité.
Définition [Fonction caractéristique]
Soit une variable aléatoire à valeurs dans
. On appelle fonction caractéristique de la fonction
définie par
Les adeptes auront reconnu une transformée de Fourier.
Proposition
est à valeurs dans le disque unité fermé de
implique .
Démonstration:
Point par point:
Par définition!
Clair!
Grâce à l'inégalité de Jensen (voir ).
Ce point, délicat, sera ici admis.
Quelques exemples de fonctions caractéristiques:
- Si est un dirac en , alors
.
- Etant donné une variable aléatoire à valeurs dans
, une matrice
de type , et un vecteur dans
, avec , on a
- On trouvera d'autres exemples dans la partie .
Théorème [Formule d'inversion de Fourier]
On suppose que , fonction caractéristique
de la variable aléatoire , est intégrable. Alors
admet une densité continue bornée ,
et on a
Démonstration:On se réfère à la partie consacrée aux séries de Fourier, où l'on
trouvera d'ailleurs de nombreux résultats complémentaires...
Définition
On appelle moment d'ordre de la variable aléatoire
à valeurs dans
l'espérance de . On appelle moment
centré d'ordre de la variable aléatoire à valeurs dans
l'espérance
de
.
Le résultat suivant est donné sans preuve.
Proposition
Deux variables aléatoires bornées ayant les mêmes moments à tous
ordres sont égales.