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Somme de variables aléatoires et transformée de Fourier

Définition [Produit de convolution] On appelle produit de convolution de deux lois de probabilités indépendantes $ P^X$ et $ P^Y$ sur $ \mathbb{R}$ la loi $ P^X*P^Y$ sur $ \mathbb{R}$ définie par

$\displaystyle (P^X*P^Y)(E)=\int_E ( \int_E dP^Y(x-y) ) dP^X(x)$


Proposition [Propriétés fondamentales du produit de convolution] Si $ X$ et $ Y$ sont deux variables aléatoires réelles indépendantes de lois $ P^X$ et $ P^Y$:

$ \bullet\ $La loi de $ X+Y$ est $ P^X*P^Y$

$ \bullet\ $ $ P^X*P^Y=P^Y*P^X$

$ \bullet\ $Pour toute fonction mesurable $ f$ de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$,

$\displaystyle \int_\mathbb{R}f(x).d(P^X*P^Y)(x)$

$\displaystyle =\int_\mathbb{R}( \int_\mathbb{R}f(x+y) dP^Y(y))dP^X(x)$


Démonstration:

$\displaystyle P^{X+Y}(E)=P^{X \times Y}(som(X,Y) \in E)$

avec $ som: (x,y)\mapsto x+y$

$\displaystyle = \int_{\Omega} \int_{\Omega} \chi_{E} (Y({\omega}_1)+X({\omega}_2)) d{\omega}_2 d{\omega}_1$

$\displaystyle = \int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}\chi_E(Y({\omega}_1)+X({\omega}_2)) dP^X dP^Y$

Et le premier point en découle; le deuxième point découle de la commutativité de l'addition, et le troisième point est une application immédiate du théorème de transport.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition [Liste de propriétés du produit de convolution] On se donne $ X$, $ Y$ et $ Z$ des variables aléatoires réelles et $ P^X$, $ P^Y$ et $ P^Z$ leurs lois.

$ \bullet\ $Le produit de convolution de la loi $ P^X$ par une masse de Dirac située1.3 en 0 est la loi $ P^X$ elle-même.

$ \bullet\ $Le produit de convolution de $ P^X$ par une masse de Dirac située en $ x$ est la loi de $ X+x$.

$ \bullet\ $Le produit de convolution est commutatif, associatif.

$ \bullet\ $Le produit de convolution est distributif, en un sens bien précis; pour $ t$ dans $ [0,1]$, on a:

$\displaystyle P^X*(t.P^Y+(1-t).P^Z)=t.P^X*P^y+(1-t).P^X*P^Y$


Démonstration: Les trois premiers $ \bullet\ $sont évidents, au vu de la proposition précédente. Le quatrième vient simplement du fait que $ t.P^Y+(1-t).P^Z$ est bien une loi de probabilité.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Fonction caractéristique] Soit $ X$ une variable aléatoire à valeurs dans $ \mathbb{R}^d$. On appelle fonction caractéristique de $ X$ la fonction

$\displaystyle \phi^X:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d$

définie par

$\displaystyle \phi^X(t)=E(e^{i<t,X>})$


Les adeptes auront reconnu une transformée de Fourier.

Proposition

$ \bullet\ $ $ \phi^X(t)=\int_{\mathbb{R}^d} cos(<t,x>) dP^X(x)+i.\int_{\mathbb{R}^d} sin(<t,x>) dP^Y(y)$

$ \bullet\ $ $ \phi^X(0)=1$

$ \bullet\ $$ \phi^X$ est à valeurs dans le disque unité fermé de $ \mathbb{C}$

$ \bullet\ $ $ \phi^X=\phi^Y$ implique $ P^X=P^Y$.


Démonstration:

Point par point:

$ \bullet\ $Par définition!

$ \bullet\ $Clair!

$ \bullet\ $Grâce à l'inégalité de Jensen (voir [*]).

$ \bullet\ $Ce point, délicat, sera ici admis.$ \sqcap$$ \sqcup$

Quelques exemples de fonctions caractéristiques:

- Si $ P^X$ est un dirac en $ x$, alors $ \phi^X(t)=e^{i<t.x>}$.

- Etant donné $ X$ une variable aléatoire à valeurs dans $ \mathbb{R}^d$, $ M$ une matrice de type $ (d,d)$, et $ C$ un vecteur dans $ \mathbb{R}^d$, avec $ Y=M.X+C$, on a

$\displaystyle \phi^Y(t)=E(e^{i<t,Y>})$

$\displaystyle =E(e^{i<t,MX>+i<t,C>})$

$\displaystyle =e^{i<t,C>}.E(e^{i<t,MX>})$

$\displaystyle =e^{i<t,C>}.E(e^{i<X,^tMt>})$

$\displaystyle =e^{i<t,C>}.\phi^X(^tMt)$

- On trouvera d'autres exemples dans la partie [*].

Théorème [Formule d'inversion de Fourier] On suppose que $ \phi^X$, fonction caractéristique de la variable aléatoire $ X$, est intégrable. Alors $ X$ admet une densité continue bornée $ f^X$, et on a

$\displaystyle f^X(x)=\frac{1}{(2\Pi)^d} \int_{\mathbb{R}^d} e^{-i<t,x>}\phi^X(t).dt$


Démonstration: On se réfère à la partie consacrée aux séries de Fourier, où l'on trouvera d'ailleurs de nombreux résultats complémentaires...$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition On appelle moment d'ordre $ k$ de la variable aléatoire $ X$ à valeurs dans $ \mathbb{R}$ l'espérance de $ X^k$. On appelle moment centré d'ordre $ k$ de la variable aléatoire $ X$ à valeurs dans $ \mathbb{R}$ l'espérance de $ (X-E(X))^k$.

Le résultat suivant est donné sans preuve.

Proposition Deux variables aléatoires bornées ayant les mêmes moments à tous ordres sont égales.



Notes

... située1.3
Une masse de Dirac en $ X$ est une mesure $ \partial _{x}$ telle que $ \partial _x(E)=1$ si $ x\in E$ et $ \partial _x(E)=0$ sinon.

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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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