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Somme de variables aléatoires et transformée de Fourier

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Somme de variables aléatoires et transformée de Fourier

Définition [Produit de convolution] On appelle produit de convolution de deux lois de probabilités indépendantes et sur $\mathbb{R}$ la loi sur $\mathbb{R}$ définie par

$\displaystyle (P^X*P^Y)(E)=\int_E ( \int_E dP^Y(x-y) ) dP^X(x)$

Proposition [Propriétés fondamentales du produit de convolution] Si et sont deux variables aléatoires réelles indépendantes de lois et :

$\bullet\$ La loi de est

$\bullet\$

$\bullet\$ Pour toute fonction mesurable de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ ,

$\displaystyle \int_\mathbb{R}f(x).d(P^X*P^Y)(x)$

$\displaystyle =\int_\mathbb{R}( \int_\mathbb{R}f(x+y) dP^Y(y))dP^X(x)$

Démonstration:

$\displaystyle P^{X+Y}(E)=P^{X \times Y}(som(X,Y) \in E)$

avec $som: (x,y)\mapsto x+y$

$\displaystyle = \int_{\Omega} \int_{\Omega} \chi_{E} (Y({\omega}_1)+X({\omega}_2)) d{\omega}_2 d{\omega}_1$

$\displaystyle = \int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}\chi_E(Y({\omega}_1)+X({\omega}_2)) dP^X dP^Y$

Et le premier point en découle; le deuxième point découle de la commutativité de l'addition, et le troisième point est une application immédiate du théorème de transport. $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition [Liste de propriétés du produit de convolution] On se donne , et des variables aléatoires réelles et , et leurs lois.

$\bullet\$ Le produit de convolution de la loi par une masse de Dirac située^1.3 en 0 est la loi elle-même.

$\bullet\$ Le produit de convolution de par une masse de Dirac située en est la loi de .

$\bullet\$ Le produit de convolution est commutatif, associatif.

$\bullet\$ Le produit de convolution est distributif, en un sens bien précis; pour dans , on a:

$\displaystyle P^X*(t.P^Y+(1-t).P^Z)=t.P^X*P^y+(1-t).P^X*P^Y$

Démonstration: Les trois premiers $\bullet\$ sont évidents, au vu de la proposition précédente. Le quatrième vient simplement du fait que est bien une loi de probabilité. $\sqcap$ $\sqcup$

Définition [Fonction caractéristique] Soit une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{R}^d$ . On appelle fonction caractéristique de la fonction

$\displaystyle \phi^X:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d$

définie par

$\displaystyle \phi^X(t)=E(e^{i<t,X>})$

Les adeptes auront reconnu une transformée de Fourier.

Proposition

$\bullet\$ $\phi^X(t)=\int_{\mathbb{R}^d} cos(<t,x>) dP^X(x)+i.\int_{\mathbb{R}^d} sin(<t,x>) dP^Y(y)$

$\bullet\$ $\phi^X(0)=1$

$\bullet\$ $\phi^X$ est à valeurs dans le disque unité fermé de $\mathbb{C}$

$\bullet\$ $\phi^X=\phi^Y$ implique .

Démonstration:

Point par point:

$\bullet\$ Par définition!

$\bullet\$ Clair!

$\bullet\$ Grâce à l'inégalité de Jensen (voir ).

$\bullet\$ Ce point, délicat, sera ici admis. $\sqcap$ $\sqcup$

Quelques exemples de fonctions caractéristiques:

- Si est un dirac en , alors $\phi^X(t)=e^{i<t.x>}$ .

- Etant donné une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{R}^d$ , une matrice de type , et un vecteur dans $\mathbb{R}^d$ , avec , on a

$\displaystyle \phi^Y(t)=E(e^{i<t,Y>})$

$\displaystyle =E(e^{i<t,MX>+i<t,C>})$

$\displaystyle =e^{i<t,C>}.E(e^{i<t,MX>})$

$\displaystyle =e^{i<t,C>}.E(e^{i<X,^tMt>})$

$\displaystyle =e^{i<t,C>}.\phi^X(^tMt)$

- On trouvera d'autres exemples dans la partie .

Théorème [Formule d'inversion de Fourier] On suppose que $\phi^X$ , fonction caractéristique de la variable aléatoire , est intégrable. Alors admet une densité continue bornée , et on a

$\displaystyle f^X(x)=\frac{1}{(2\Pi)^d} \int_{\mathbb{R}^d} e^{-i<t,x>}\phi^X(t).dt$

Démonstration: On se réfère à la partie consacrée aux séries de Fourier, où l'on trouvera d'ailleurs de nombreux résultats complémentaires... $\sqcap$ $\sqcup$

Définition On appelle moment d'ordre de la variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{R}$ l'espérance de . On appelle moment centré d'ordre de la variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{R}$ l'espérance de .