Définition
On appelle espace filtré un quadruplet
avec
triplet de probabilité, et
une filtration, c'est à dire une suite croissantes de -algèbres incluses dans .
On appelle processus adapté à un espace filtré une suite
de variables aléatoires à valeurs dans
telles que
est -mesurable
On appelle processus prévisible (relativement à un espace filtré) une suite
de variables aléatoires à valeurs dans
telles que pour tout est
-mesurable.
On appelle temps d'arrêt une application de dans
telle que pour tout appartient à
.
On appelle processus prévisible associé à un temps d'arrêt le processus prévisible tel que
est égal à si
et égal à 0 sinon.
Etant donnés un processus et un temps d'arrêt, on note le processus stoppé à l'instant défini par
.
Etant donnés un processus prévisible et une martingale , on note
pour .
Un processus est dit borné si il existe tel que pour tout et tout ,
est majoré par .
En fait l'espace filtré représente les connaissance disponibles à l'instant
, dans un espace à temps discret; c'est-à-dire qu'une fonction est
-mesurable à condition qu'elle puisse être connue à l'instant . Ensuite le fait qu'un processus soit adapté, signifie simplement que la valeur de
est connue à l'instant . Un processus prévisible est en fait un processus déterminé à l'avance, ie le processus à l'instant est connu dès l'instant . Un processus prévisible sera notamment usuellement une stratégie élaborée par un joueur, qui peut donc agir en fonction de ce qui a déjà eu lieu, la stratégie étant supposée déterministe. Un temps d'arrêt est en fait une façon de décider un instant, sachant que la décision d'un instant ne peut être faite qu'en fonction des évènements antérieurs.
représente le total des gains à l'instant , représentant la mise, et
le gain avant multiplication par la mise. Le processus prévisible associé à un temps d'arrêt est en fait une façon de jouer où l'on ne choisit pas la mise, mais pour laquelle on peut choisir le moment où le jeu s'arrête.
On verra un temps d'arrêt sympathique et un processus stoppé sympathiques en partie .
Définition
Un processus adapté est une martingale si pour tout est ET si pour tout l'espérance conditionnelle
est égale à .
Un processus adapté est une surmartingale si pour tout est ET si pour tout l'espérance conditionnelle
est à .
Un processus adapté est une sous-martingale si pour tout est ET si pour tout l'espérance conditionnelle
est à .
On comprend bien ce que signifie le fait que soit ; la condition sur l'espérance conditionnelle, signifie, elle, simplement que la moyenne de , toutes les informations étant connues jusqu'à l'étape , est égale à . C'est à dire que si l'on fixe les premières étapes, la -ième est centrée (a sa moyenne) sur l'étape .
En voyant comme le gain à un jeu jusqu'à l'instant inclus, une surmartingale est un jeu où en moyenne on perd, une sous-martingale un jeu où en moyenne on gagne.
Proposition
Si est une surmartingale, est une sous-martingale.
est une surmartingale si et seulement si est une surmartingale et une sous-martingale.
Exemple 2
On aura souvent comme filtration
(-algèbre engendrée par
), et
avec mesurable de
dans
comme processus adapté.
Exemple 3
Soit
des variables aléatoires indépendantes d'espérance nulle. On définit
. La filtration choisie est définie par :
est la -algèbre engendrée par
. Alors est une martingale.
Avec
, variable aléatoire à valeurs dans (équirépartie sur ces deux valeurs), on a une marche aléatoire sur
.
On peut aussi prendre des variables aléatoires positives, d'espérance , indépendantes, pour , et définir le produit des pour . La filtration se définit comme dans le cas ci-dessus.
Théorème [On peut pas gagner si on a un porte-monnaie fini]Si est un processus prévisible et borné et positif et si est une surmartingale, une sous-martingale, une martingale (respectivement), alors
est une surmartingale, une sous-martingale, une martingale.
Si est un processus prévisible et borné et une martingale, alors
est une martingale.
Démonstration:En utilisant les propriétés de l'espérance conditionnelle,
d'où les résultats en appliquant les définitions des martingales, des surmartingales,d es sousmartingales.
Corollaire
Si est une surmartingale, et un temps d'arrêt, alors le processus stoppé est une surmartingale et
. Si est une martingale, et un temps d'arrêt, alors le processus stoppé est une martingale et
.