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Martingales

Définition On appelle espace filtré un quadruplet $ (\Omega,{\cal F},({\cal F}_n)_{n\in \mathbb{N}},P)$ avec $ (\Omega,{\cal F},P)$ triplet de probabilité, et $ ({\cal F}_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une filtration, c'est à dire une suite croissantes de $ \sigma $-algèbres incluses dans $ {\cal F}$.

On appelle processus adapté à un espace filtré une suite $ (X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de variables aléatoires à valeurs dans $ \mathbb{R}$ telles que

$\displaystyle \forall n\in \mathbb{N}X_n$    est $\displaystyle {\cal F}_n$-mesurable

On appelle processus prévisible (relativement à un espace filtré) une suite $ (X_n)_{n>0}$ de variables aléatoires à valeurs dans $ \mathbb{R}$ telles que pour tout $ n>0$ $ C_n$ est $ {\cal F}_{n-1}$-mesurable.

On appelle temps d'arrêt une application de $ \Omega$ dans $ \mathbb{N}$ telle que pour tout $ n$ $ \{{\omega}/ T({\omega}) \leq n \}$ appartient à $ {\cal F}_n$.

On appelle processus prévisible associé à un temps d'arrêt le processus prévisible $ C$ tel que $ C_n({\omega})$ est égal à $ 1$ si $ n \leq T({\omega})$ et égal à 0 sinon.

Etant donnés $ X$ un processus et $ T$ un temps d'arrêt, on note $ X^T$ le processus $ X$ stoppé à l'instant $ T$ défini par $ X^T_n({\omega})=X_{min(T({\omega}),n)}({\omega})$.

Etant donnés un processus prévisible $ C$ et une martingale $ X$, on note $ (C\bullet X)_n=\sum_{i=1}^n C_i (X_i-X_{i-1})$ pour $ n>1$.

Un processus $ C$ est dit borné si il existe $ K$ tel que pour tout $ n$ et tout $ {\omega}$, $ \vert C_n({\omega})\vert$ est majoré par $ K$.

Pour y voir plus clair En fait l'espace filtré représente les connaissance disponibles à l'instant $ n\in \mathbb{N}$, dans un espace à temps discret; c'est-à-dire qu'une fonction est $ {\cal F}_n$-mesurable à condition qu'elle puisse être connue à l'instant $ n$. Ensuite le fait qu'un processus soit adapté, signifie simplement que la valeur de $ X_n({\omega})$ est connue à l'instant $ n$. Un processus prévisible est en fait un processus déterminé à l'avance, ie le processus à l'instant $ n$ est connu dès l'instant $ n-1$. Un processus prévisible sera notamment usuellement une stratégie élaborée par un joueur, qui peut donc agir en fonction de ce qui a déjà eu lieu, la stratégie étant supposée déterministe. Un temps d'arrêt est en fait une façon de décider un instant, sachant que la décision d'un instant ne peut être faite qu'en fonction des évènements antérieurs. $ (C\bullet X)_n$ représente le total des gains à l'instant $ n$, $ C_n$ représentant la mise, et $ X_n-X_{n-1}$ le gain avant multiplication par la mise. Le processus prévisible associé à un temps d'arrêt est en fait une façon de jouer où l'on ne choisit pas la mise, mais pour laquelle on peut choisir le moment où le jeu s'arrête.

Application(s)... On verra un temps d'arrêt sympathique et un processus stoppé sympathiques en partie [*].

Définition Un processus adapté $ X$ est une martingale si pour tout $ n$ $ X_n$ est $ L^1$ ET si pour tout $ n$ l'espérance conditionnelle $ E(X_n \vert {\cal F}_{n-1})$ est égale à $ X^{n-1}$.

Un processus adapté $ X$ est une surmartingale si pour tout $ n$ $ X_n$ est $ L^1$ ET si pour tout $ n$ l'espérance conditionnelle $ E(X_n \vert {\cal F}_{n-1})$ est $ \leq$ à $ X^{n-1}$.

Un processus adapté $ X$ est une sous-martingale si pour tout $ n$ $ X_n$ est $ L^1$ ET si pour tout $ n$ l'espérance conditionnelle $ E(X_n \vert {\cal F}_{n-1})$ est $ \leq$ à $ X^{n-1}$.

Pour y voir plus clair On comprend bien ce que signifie le fait que $ X_n$ soit $ L^1$; la condition sur l'espérance conditionnelle, signifie, elle, simplement que la moyenne de $ X_n$, toutes les informations étant connues jusqu'à l'étape $ n-1$, est égale à $ X_{n-1}$. C'est à dire que si l'on fixe les $ n-1$ premières étapes, la $ n$-ième est centrée (a sa moyenne) sur l'étape $ n-1$.

Pour y voir plus clair En voyant $ X_n$ comme le gain à un jeu jusqu'à l'instant $ n$ inclus, une surmartingale est un jeu où en moyenne on perd, une sous-martingale un jeu où en moyenne on gagne.

Proposition Si $ X$ est une surmartingale, $ -X$ est une sous-martingale.

$ X$ est une surmartingale si et seulement si $ X$ est une surmartingale et une sous-martingale.

Exemple 2   On aura souvent comme filtration $ {\cal F}_n=\sigma (W_0,\dots,W_n)$ ($ \sigma $-algèbre engendrée par $ W_0,\dots,W_n$), et $ X_n=f_n(W_0,\dots,W_n)$ avec $ f_n$ mesurable de $ \mathbb{R}^n$ dans $ \mathbb{R}$ comme processus adapté.

Exemple 3   Soit $ (X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ des variables aléatoires indépendantes $ L^1$ d'espérance nulle. On définit $ S_n=\sum_{i\in [0,n]} Y_i$. La filtration choisie est définie par : $ {\cal F}_n$ est la $ \sigma $-algèbre engendrée par $ (X_0,\dots,X_n)$. Alors $ S_n$ est une martingale.

Avec $ X_i=\frac12 \partial _1 +\frac12 \partial _{-1}$, variable aléatoire à valeurs dans $ \{-1,1\}$ (équirépartie sur ces deux valeurs), on a une marche aléatoire sur $ \mathbb{Z}$.

On peut aussi prendre des variables aléatoires $ X_i$ positives, d'espérance $ 1$, indépendantes, pour $ X$, et définir $ \Pi_n$ le produit des $ X_i$ pour $ i\leq n$. La filtration se définit comme dans le cas ci-dessus.

Théorème [On peut pas gagner si on a un porte-monnaie fini] $ \bullet\ $Si $ C$ est un processus prévisible et borné et positif et si $ X$ est une surmartingale, une sous-martingale, une martingale (respectivement), alors $ (C\bullet X)$ est une surmartingale, une sous-martingale, une martingale.

$ \bullet\ $Si $ C$ est un processus prévisible et borné et $ X$ une martingale, alors $ C\bullet X$ est une martingale.

Démonstration: En utilisant les propriétés de l'espérance conditionnelle,

$\displaystyle E((C\bullet X)_n - (C\bullet X)_{n-1}\vert {\cal F}_{n-1}=C_n E(X_n-X_{n-1}\vert {\cal F}_{n-1})=$

$\displaystyle C_n(E(X_n \vert {\cal F}_{n-1} ) - E(X_{n-1} \vert {\cal F}_{n-1}))=C_n(E(X_n \vert {\cal F}_{n-1} ) - X_{n-1},$

d'où les résultats en appliquant les définitions des martingales, des surmartingales,d es sousmartingales.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Si $ X$ est une surmartingale, et $ T$ un temps d'arrêt, alors le processus stoppé $ X^T$ est une surmartingale et $ E(X_{T^n})\leq E(X_0)$. Si $ X$ est une martingale, et $ T$ un temps d'arrêt, alors le processus stoppé $ X^T$ est une martingale et $ E(X_{T^n})=E(X_0)$.


Le résultat suivant provient de [21]:

Théorème [Théorème d'arrêt éventuel de Doob] Soit $ T$ un temps d'arrêt et $ X$ une surmartingale, alors si l'une des conditions suivantes est vérifiée: $ \bullet\ $ $ \exists N / \forall {\omega}T({\omega}) < N$

$ \bullet\ $ $ \exists K / \forall ({\omega},n) \vert X_n({\omega})\vert<K$ et pour presque tout $ {\omega}$ $ T$ est fini.

$ \bullet\ $ $ E(T)<\infty$ et $ \exists K / \forall (n,{\omega}) \vert X_n({\omega})-X_{n-1}({\omega})\vert \leq K$

on peut conclure que $ E(X_T)\leq E(X_0)$

Démonstration: Application facile des résultats ci-dessus, en utilisant la convergence dominée de Lebesgue [*] dans le troisième cas. $ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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