Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures

Définition On appelle espace filtré un quadruplet $(\Omega,{\cal F},({\cal F}_n)_{n\in \mathbb{N}},P)$ avec $(\Omega,{\cal F},P)$ triplet de probabilité, et $({\cal F}_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une filtration, c'est à dire une suite croissantes de $\sigma$ -algèbres

incluses dans ${\cal F}$ .

On appelle processus adapté à un espace filtré une suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{R}$ telles que

On appelle processus prévisible (relativement à un espace filtré) une suite $(X_n)_{n>0}$ de variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{R}$ telles que pour tout

est ${\cal F}_{n-1}$ -mesurable.

On appelle temps d'arrêt une application de $\Omega$ dans $\mathbb{N}$ telle que pour tout

$\{{\omega}/ T({\omega}) \leq n \}$ appartient à ${\cal F}_n$ .

On appelle processus prévisible associé à un temps d'arrêt le processus prévisible

tel que $C_n({\omega})$ est égal à

si $n \leq T({\omega})$ et égal à 0 sinon.

Etant donnés

un processus et

un temps d'arrêt, on note

le processus stoppé à l'instant défini par $X^T_n({\omega})=X_{min(T({\omega}),n)}({\omega})$ .

Etant donnés un processus prévisible

et une martingale

, on note $(C\bullet X)_n=\sum_{i=1}^n C_i (X_i-X_{i-1})$ pour

Un processus

est dit borné si il existe

tel que pour tout

et tout ${\omega}$ , $\vert C_n({\omega})\vert$ est majoré par

En fait l'espace filtré représente les connaissance disponibles à l'instant $n\in \mathbb{N}$ , dans un espace à temps discret; c'est-à-dire qu'une fonction est ${\cal F}_n$ -mesurable à condition qu'elle puisse être connue à l'instant

. Ensuite le fait qu'un processus soit adapté, signifie simplement que la valeur de $X_n({\omega})$ est connue à l'instant

. Un processus prévisible est en fait un processus déterminé à l'avance, ie le processus à l'instant

est connu dès l'instant

. Un processus prévisible sera notamment usuellement une stratégie élaborée par un joueur, qui peut donc agir en fonction de ce qui a déjà eu lieu, la stratégie étant supposée déterministe. Un temps d'arrêt est en fait une façon de décider un instant, sachant que la décision d'un instant ne peut être faite qu'en fonction des évènements antérieurs. $(C\bullet X)_n$ représente le total des gains à l'instant

représentant la mise, et $X_n-X_{n-1}$ le gain avant multiplication par la mise. Le processus prévisible associé à un temps d'arrêt est en fait une façon de jouer où l'on ne choisit pas la mise, mais pour laquelle on peut choisir le moment où le jeu s'arrête.

On verra un temps d'arrêt sympathique et un processus stoppé sympathiques en partie

Définition Un processus adapté

est une martingale si pour tout

est

ET si pour tout

l'espérance conditionnelle $E(X_n \vert {\cal F}_{n-1})$ est égale à $X^{n-1}$ .

Un processus adapté

est une surmartingale si pour tout

est

ET si pour tout

l'espérance conditionnelle $E(X_n \vert {\cal F}_{n-1})$ est $\leq$ à $X^{n-1}$ .

Un processus adapté

est une sous-martingale si pour tout

est

ET si pour tout

l'espérance conditionnelle $E(X_n \vert {\cal F}_{n-1})$ est $\leq$ à $X^{n-1}$ .

On comprend bien ce que signifie le fait que

soit

; la condition sur l'espérance conditionnelle, signifie, elle, simplement que la moyenne de

, toutes les informations étant connues jusqu'à l'étape

, est égale à $X_{n-1}$ . C'est à dire que si l'on fixe les

premières étapes, la

-ième est centrée (a sa moyenne) sur l'étape

En voyant

comme le gain à un jeu jusqu'à l'instant

inclus, une surmartingale est un jeu où en moyenne on perd, une sous-martingale un jeu où en moyenne on gagne.

est une surmartingale

si et seulement si

est une surmartingale et une sous-martingale.

Exemple 2 On aura souvent comme filtration ${\cal F}_n=\sigma (W_0,\dots,W_n)$ ( $\sigma$ -algèbre engendrée par $W_0,\dots,W_n$ ), et $X_n=f_n(W_0,\dots,W_n)$ avec

mesurable de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ comme processus adapté.

Exemple 3 Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ des variables aléatoires indépendantes

d'espérance nulle. On définit $S_n=\sum_{i\in [0,n]} Y_i$ . La filtration choisie est définie par : ${\cal F}_n$ est la $\sigma$ -algèbre engendrée par $(X_0,\dots,X_n)$ . Alors

est une martingale.

Avec $X_i=\frac12 \partial _1 +\frac12 \partial _{-1}$ , variable aléatoire à valeurs dans $\{-1,1\}$ (équirépartie sur ces deux valeurs), on a une marche aléatoire sur $\mathbb{Z}$ .

On peut aussi prendre des variables aléatoires positives, d'espérance , indépendantes, pour , et définir $\Pi_n$ le produit des pour $i\leq n$ . La filtration se définit comme dans le cas ci-dessus.