Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
181 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Espaces mesurés next up previous index
suivant: Evènements monter: Probabilités précédent: Probabilités   Index

Espaces mesurés

On trouvera en [*] les fondements de la topologie, et en [*] les fondements de la théorie de la mesure. Je ne rappelle ci-dessous que quelques définitions qui sont données dans les paragraphes que je viens de citer.

Une topologie sur $ X$ est un sous-ensemble de $ P(X)$ contenant $ \emptyset$, $ X$, et stable par réunion quelconque et par intersection finie. Les éléments d'une topologie sont appelés ouverts, leurs complémentaires sont appelés fermés.
Une algèbre sur $ X$ est un sous-ensemble de $ P(X)$ contenant $ X$, stable par passage au complémentaire et stable par union finie.
Une tribu sur $ X$ est un sous-ensemble de $ P(X)$ contenant $ X$, stable par passage au complémentaire et par union dénombrable. Une tribu est aussi appelée $ \sigma $-algèbre .
Un espace mesurable est un couple $ (X,{\cal A})$ avec $ {\cal A}$ tribu sur $ X$.
Dans $ \mathbb{R}$ ou dans $ \mathbb{R}^n$, ou en général dans un espace topologique, la tribu usuelle est la tribu engendrée par les ouverts. Dans le cas de $ \mathbb{R}^n$ et $ \mathbb{R}$, cette tribu est aussi la tribu engendrée par les boules ouvertes. Une tribu engendrée par une topologie s'appelle tribu des boréliens; ses éléments s'appellent les boréliens.
Une mesure positive sur un espace mesurable $ (X,{\cal A})$ est une fonction $ \mu$ de $ {\cal A}$ dans $ \mathbb{R}^+$ telle que
$ \bullet\ $ $ \mu(\emptyset)=0$
$ \bullet\ $Si les $ A_i$ sont deux à deux disjoints et $ I$ dénombrable alors $ \mu(\cup_{i\in I} A_i)=\sum_{i\in I} \mu(A_i)$
Un espace mesuré est un triplet $ (X,{\cal A},\mu)$ avec $ {\cal A}$ une tribu sur $ X$, $ \mu$ une mesure positive sur $ (X,{\cal A})$.
Une fonction de $ (X_1,{\cal A}_1)$ dans $ (X_2,{\cal A}_2)$ est dite mesurable si et seulement si l'image réciproque de tout ensemble mesurable est mesurable.
La $ \sigma $-algèbre engendrée par une base d'ouverts d'une topologie est égale à la $ \sigma $-algèbre engendrée par cette topologie.
La partie [*] est indispensable pour s'attaquer aux probabilités.
Une mesure est dite finie si et seulement si la mesure de l'espace tout entier $ X$ est finie et alors $ \forall A$ mesurable $ \mu(A) \leq \mu(X)$.

Définition Une mesure est une mesure de probabilité si la mesure de l'espace tout entier est $ 1$.


next up previous index
suivant: Evènements monter: Probabilités précédent: Probabilités   Index
C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page