Espaces mesurés

On trouvera en les fondements de la topologie, et en les fondements de la théorie de la mesure. Je ne rappelle ci-dessous que quelques définitions qui sont données dans les paragraphes que je viens de citer.

Une topologie sur est un sous-ensemble de contenant $\emptyset$ , , et stable par réunion quelconque et par intersection finie. Les éléments d'une topologie sont appelés ouverts, leurs complémentaires sont appelés fermés.
Une algèbre sur est un sous-ensemble de contenant , stable par passage au complémentaire et stable par union finie.
Une tribu sur est un sous-ensemble de contenant , stable par passage au complémentaire et par union dénombrable. Une tribu est aussi appelée $\sigma$ -algèbre .
Un espace mesurable est un couple $(X,{\cal A})$ avec ${\cal A}$ tribu sur .
Dans $\mathbb{R}$ ou dans $\mathbb{R}^n$ , ou en général dans un espace topologique, la tribu usuelle est la tribu engendrée par les ouverts. Dans le cas de $\mathbb{R}^n$ et $\mathbb{R}$ , cette tribu est aussi la tribu engendrée par les boules ouvertes. Une tribu engendrée par une topologie s'appelle tribu des boréliens; ses éléments s'appellent les boréliens.
Une mesure positive sur un espace mesurable $(X,{\cal A})$ est une fonction $\mu$ de ${\cal A}$ dans $\mathbb{R}^+$ telle que
$\bullet\$ $\mu(\emptyset)=0$
$\bullet\$ Si les sont deux à deux disjoints et dénombrable alors $\mu(\cup_{i\in I} A_i)=\sum_{i\in I} \mu(A_i)$
Un espace mesuré est un triplet $(X,{\cal A},\mu)$ avec ${\cal A}$ une tribu sur , $\mu$ une mesure positive sur $(X,{\cal A})$ .
Une fonction de $(X_1,{\cal A}_1)$ dans $(X_2,{\cal A}_2)$ est dite mesurable si et seulement si l'image réciproque de tout ensemble mesurable est mesurable.
La $\sigma$ -algèbre engendrée par une base d'ouverts d'une topologie est égale à la $\sigma$ -algèbre engendrée par cette topologie.
La partie est indispensable pour s'attaquer aux probabilités.
Une mesure est dite finie si et seulement si la mesure de l'espace tout entier est finie et alors $\forall A$ mesurable $\mu(A) \leq \mu(X)$ .